Примени математику

17.8. Примерно по середине листа проведем две перпендикулярные прямые (линии сгиба) EF и GH, параллельные сторонам будущего прямоугольника ABCD и пересекающиеся в точке О (рис. 93). Приложим сверху край EF листа, перегнутого предварительно по прямой EF, к той части исходного листа, которая содержит точку G, и проследим, чтобы точка О оказалась прижатой к лучу OG. Тогда, перегнув вдоль листа нижнюю часть листа, мы получим прямую AD. Аналогично с другой стороны от прямой EF получаем прямую ВС. Приложив также край GH листа, перегнутого по прямой GH, к той части исходного листа, которая содержит точку Е, и проследив, чтобы точка О оказалась прижатой к лучу ОЕ и чтобы линия GH пересекла обе построенные ранее линии AD и СВУ мы получим сторону АВ прямоугольника. Аналогично получаем противоположную его сторону CD. Для доказательства того, что построенный четырехугольник действительно является прямоугольником, достаточно проверить, что прямые АВ и CD параллельны прямой EF, а прямые AD и ВС - прямой GH.

Рис. 93

17.9. Перегнем прямоугольный лист бумаги по биссектрисе одного из его углов BAD, т. е. так, чтобы сторона АВ прямоугольника ABCD пошла по соседней с ней стороне AD, а линия сгиба пересекла какую-то третью сторону в точке Е (рис. 94). Пусть меньшая сторона АВ оказалась наложенной сверху на большую сторону AD. Тогда, перегнув нижнюю часть листа вдоль линии BE, мы получим квадрат ABEF. Действительно, в четырехугольнике ABEF выполнены равенства ∠ ABE = ∠ BAF = 90°, АВ = ВЕ (ибо ∠ ВАЕ = 45° = ∠ AEB), AB = AF, BE = FE,

следовательно, все стороны этого четырехугольника равны, а углы прямые.

Рис. 94

17.10. Перегнем данный прямоугольник ABCD по серединному перпендикуляру EF, скажем, к меньшей стороне AD (рис. 95). Не разворачивая лист, перегнем его еще раз по любой линии, пересекающей отрезки АЕ и EF. Тогда после разворачивания последняя линия сгиба, которая пройдет как по прямоугольнику AEFB, так и по прямоугольнику DEFC, вместе с прямой AD образует равнобедренный треугольник (в силу его симметрии относительно прямой EF).

Рис. 95

Для построения равностороннего треугольника перегнем прямоугольник ABCD по линии, проходящей через вершину А, так, чтобы точка D совместилась с какой-нибудь точкой G отрезка EF. Тогда треугольник ADG будет равносторонним, поскольку в силу построения имеем AD = AG = GD.

17.11. Проведем серединный перпендикуляр к стороне AD квадрата ABCD, а затем перегнем квадрат по линии, проходящей через точку А, так, чтобы точка В совместилась с какой-нибудь точкой G проведенного перпендикуляра (рис. 96). Тогда линия сгиба пересечет сторону ВС в точке Е, а если перегнуть квадрат по диагонали АС, то точка Е совместится с точкой F. Докажем, что треугольник AEF равносторонний. Действительно, так как треугольник ADG равносторонний (ибо DG = AG = AB = AD), то ∠ DAG = 60°, ∠ BAG = 90° - 60° = 30°, ∠ DAF = ∠ BAE = ∠GAE = 15°, ∠ FAE = 90° - 15° - 15° = 60° и, кроме того, AF = AE.

Рис. 96

17.12. Проведя две биссектрисы равностороннего треугольника ABC (см. задачу 17.7), мы найдем его центр О. Загнем углы треугольника так, чтобы их вершины совместились с точкой О (рис. 97). Тогда полученная фигура и будет представлять собой правильный шестиугольник. В самом деле, все шесть треугольников, из которых составлен шестиугольник, являются равносторонними (их равнобедренность вытекает из симметрии всей фигуры относительно биссектрис исходного треугольника ABC, а равенство каждого из углов по 60° следует из равенства 60° каждого из углов при вершинах А, В, С и равенства друг другу трех оставшихся углов с вершинами в точке О).

Рис. 97

17.13. Проведем диагонали квадрата ABCD, серединный перпендикуляр к стороне AD и биссектрисы углов между диагоналями и этим перпендикуляром. Загнем углы квадрата так, чтобы линии сгиба проходили через точки пересечения биссектрис со сторонами квадрата, а вершины углов А, В, С, D

оказались на соответствующих диагоналях (рис. 98). Тогда полученная фигура и будет представлять собой правильный восьмиугольник. В самом деле, все углы, под которыми видны из центра квадрата стороны восьмиугольника, равны между собой (каждый такой угол составлен из двух углов между проведенными выше биссектрисой и диагональю), а кроме того, равны и все расстояния от вершин восьмиугольника до центра квадрата (равные длине той же биссектрисы).

Рис. 98

17.14. Проведем высоту AD треугольника ABC, опущенную из вершины А его наибольшего угла. Теперь загнем все три угла треугольника так, чтобы их вершины совместились с точкой D (рис. 99). Тогда углы при вершинах треугольника без наложений друг на друга составят в сумме развернутый угол с вершиной D, равный 180°.

Рис. 99