Рациональность: От ИИ до Зомби

Теперь допустим, что мы не уверены насчёт состояния системы (X,Y)(X,Y), и наша неопределённость описывается равновероятным распределением по SS. То есть, мы уверены, что XX находится в состоянии 1, но YY может находиться в любом из состояний 1-4. Через минуту мы ожидаем увидеть YY в состоянии 1, а XX — в любом из состояний 2-8. Фактически, XX может быть только в одном из состояний среди 2-8, но узнать конкретное состояние было бы слишком затратно, так что мы просто будем говорить 2-8.

Если рассмотреть энтропию Шэннона от нашей неуверенности о состояниях XX и YY, как о независимых системах, то XX начнёт с 0 бит энтропии, потому что имеет только одно определённое состояние, YY начнёт с 2 бит, потому что она с равной вероятностью может оказаться в любом из четырёх состояний. (Между XX и YY нет общей информации). Немного физики, и вот, энтропия YY стала 0, но энтропия XX стала равна log27=2,8битlog27=2,8бит. Таким образом, энтропия перешла из одной системы в другую и уменьшилась в подсистеме YY. Однако из-за каких-то сложностей мы не потрудились отследить часть информации, и, следовательно (с нашей точки зрения), общая энтропия увеличилась.

Предположим, существовал бы физический процесс, который преобразовывал бы прошлые состояния в будущие состояния следующим образом:

X2Y1→X2Y1X2Y1→X2Y1

X2Y2→X2Y1X2Y2→X2Y1

X2Y3→X2Y1X2Y3→X2Y1

X2Y4→X2Y1X2Y4→X2Y1

Такой физический процесс на самом деле уменьшал бы энтропию, потому что независимо от того, где бы вы начинали, вы оказывались бы в одном и том же месте. Законы физики с течением времени могли бы сжать фазовое пространство.

Однако существует теорема — она называется теоремой Лиувилля и её можно доказать для наших законов физики, — которая утверждает, что такого не может быть: фазовый объём сохраняется.

Второй закон термодинамики — это следствие теоремы Лиувилля. Не важно, насколько хитроумна ваша машина из колёс и шестерёнок. Всё равно вы никогда не сможете уменьшить энтропию в одной подсистеме, не увеличивая её где-то в другом месте. Когда фазовое пространство одной подсистемы сужается, фазовое пространство другой подсистемы должно расширяться, и совместное пространство будет иметь тот же объем.

Однако, изначально компактное фазовое пространство может со временем расползтись и рассредоточиться. Поэтому для того, чтобы нарисовать простую границу вокруг этого беспорядка, придётся описать гораздо большую область, чем в начале. Именно это создаёт впечатление, что энтропия увеличивается. (А в квантовых системах, где развитие разных вселенных идёт разными путями, энтропия действительно возрастает в любой локальной вселенной. Но пока что пропустим это усложнение.)

Второй закон термодинамики вероятностный по своей природе — если вы спросите насчёт вероятности того, что горячая вода спонтанно перейдёт в состояние «холодная вода и электричество», то ответ — такая вероятность действительно существует, просто она очень мала. Это не означает, что теорема Лиувилля с малой вероятностью нарушается, теорема — это теорема, в конце концов. Это означает, что если вы вначале находитесь в большом фазовом пространстве, но не знаете, где именно, вы можете оценить небольшую вероятность оказаться в каком-то конкретном объёме фазового пространства. Поэтому, с бесконечно малой вероятностью этот конкретный стакан горячей воды может быть таким, который самопроизвольно превратится в электрический ток и кубики льда. (Пренебрегая, как обычно, квантовыми эффектами).

Таким образом, второй закон термодинамики по своей природе действительно является байесовским. Когда мы рассуждаем о реальной термодинамической системе, второй закон термодинамики — абсолютно строгое утверждение о ваших убеждениях, касающихся этой системы, но вероятностное утверждение о самой системе.

«Постойте, — говорите вы. — На уроках физики меня учили по-другому. На лекциях нам рассказывали, что термодинамика — это вроде как о температурах. Неопределённость — это субъективное ощущение! Температура воды в стакане — объективное свойство воды! Какое отношение имеет тепло к вероятности?»

О, у вас маловато доверия.

С одной стороны, связь между теплотой и вероятностью относительно проста: если вы не знаете про стакан воды ничего, кроме его температуры, то у вас гораздо больше неопределённости насчёт стакана горячей воды, чем насчёт стакана холодной.

Тепло — хаотичное движение множества молекул, и чем горячее, тем быстрее движутся молекулы. Не все молекулы в горячей воде движутся с одинаковой скоростью: «температура» — это не равномерная скорость всех молекул, а средняя скорость, которая, в свою очередь, соответствует прогнозируемому статистическому распределению скоростей. Дело в том, что чем горячее вода, тем быстрее могут быть молекулы воды, и, следовательно, у вас больше неопределённости о скорости любой отдельной молекулы (и не забудьте о том, что скорость — это вектор) . Когда вы умножите свои неопределённости относительно всех отдельных молекул, вы получите экспоненциально большую неопределённость относительно всего стакана воды.