Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Дискриминант уравнения (9), квадратного относительно z, равен:

D = (5у + ¹/_y)^2 - 16(1 + y^2) = 9у^2 - 6 + ¹/_y^2 = (3у - ¹/_y)^2.

Поэтому решениями уравнения (9) будут:

z₁ = 1/4 [5у + ¹/_y - (3y - ¹/_y)] =  1/2 (y + ¹/_y),   (10)

z₂ = 1/4 [5у + ¹/_y + (3у - ¹/_y)] = 2y.

Из (8) следует, что y 0. Из неравенства, связывающего среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положительных чисел, при y 0 вытекает неравенство: y + ¹/_y >= 2. Однако z = sin ^x/₂, т. е. |z| = 1. Но

z₁ =  1/2 (y +

¹/_y).

Поэтому одновременно |z₁| = 1 и z₁ >= 1, т. е. имеется единственная возможность z₁ = 1, что достигается при y = 1, а следовательно, при x = 1. Подставим значение x = 1 в исходную систему и убедимся, что это ее решение.

Для z₂ получим

sin ^x/₂ = 2^x, где x >= -2.    (11)

При x 0 решений уравнение (11) не имеет, поскольку тогда 2^x 1, а |sin ^x/₂| = 1.

Значение x = 0 тоже решением не является, в чем убеждаемся непосредственной проверкой.

Когда -2 = x  0, решений тоже нет, так как при этих x значения 2^x положительны, а значения sin ^x/₂ = 0.

Ответ.x = 1.

17.5. Первообразная F(x) для функции f(x) = 6х^2 + 2x + 6 равна:

F(x) = 2x^3 + x^2 + 6х + С,   (12)

где константа С будет определена. Соответственно

f'(x) = 12x

+ 2.    (13)

В точке касания x₀ 0,7 должны иметь место следующие соотношения:

т. е. получаем систему

Уравнение (15) после упрощений принимает вид

Из его двух корней x₀ =  2/3 и x₀ = 1 условию (16) удовлетворяет только второй. Подставляем x₀ = 1 в уравнение (14) и находим, что С = 5. Окончательно

F(x) = 2x^3 + x^2 + 6х + 5.

Остается сформировать данное в условии задачи неравенство

которое примет вид

Разложим числитель на множители

и воспользуемся методом интервалов (рис. P.17.5). Ограничение x 0,7 относилось только к расположению точки касания графиков f(x) и F(x). Здесь его учитывать не нужно.

Ответ.x  (-; -¹/₆) [ 1/2 ; +).

17.6. По условию разность x - y такова, что может быть основанием логарифма. Поэтому возможна замена 1 = log_x - y (x - y), а данное в условии неравенство равносильно такому:

Так как (x - y) — основание логарифма, то либо 0 x - y 1, либо x - y 1. Получим совокупность двух систем, которую затем несколько преобразуем, чтобы удобнее было перейти к графическим изображениям:

Последние два неравенства первой системы можно упростить, поскольку имеет место условие x - y 0. Получим

Решение первой системы показано на рис. P.17.6, а, решение второй — на рис. P.17.6, б, а решение совокупности — на рис. P.17.6,

в.

Внимание! Интервалы оси абсцисс (0, 1) и (1, +) принадлежат множеству решений. Остальные точки границы ему не принадлежат.

17.7. Найдем решения неравенства

(x - |x|)^2 + (y - |y|)^2 = 4    (17)

для каждого квадранта отдельно.

Пусть одновременно x >= 0, y >= 0. Тогда |x| = x, |y| = y. Неравенство (17) приобретет вид 0 = 4, т. е. оно удовлетворяется при всех x и y из первого квадранта.

Когда x = 0, y >= 0, точки (x, y) лежат во втором квадранте и на его границе. Тогда |x| = -x, |y| = y и неравенство (17) приобретет вид

(2x)^2 = 4, т. е. x^2 = 1, или -1 = x = 0,

так как мы рассматриваем значения x = 0. Это будет полоса шириной 1, расположенная во втором квадранте параллельно оси Оу (рис. P.17.7).

Аналогично в четвертом квадранте получим полосу шириной 1 параллельную оси Ox.

В четвертом квадранте x = 0, y = 0 и мы получим из (17) неравенство

х^2 + y^2 = 1,

т. е. ему удовлетворяют точки четвертого квадранта, лежащие внутри и на границе круга x^2 + y^2 = 1.

Нанесем на рис. P.17.7 точки прямой y = -x. Значения, удовлетворяющие неравенству x + y = 0, будут лежать под этой прямой и на ней. Нас интересует площадь фигуры, покрытой штриховкой. Эта фигура состоит из двух прямоугольных треугольников с катетами 1 (в сумме они образуют квадрат со стороной 1) и четверти круга, имеющего радиус 1.

Ответ. 1 + /₄.

17.8. Уравнение прямой, проходящей через точки В и D

, имеет вид y = 8 - x, а уравнение прямой AC есть 2y = x + 4. Решая эти два уравнения в системе, найдем x = y = 4, т. е. E(4; 4).

Проведем все построения, описанные в указании II на с. 201 (рис. P.17.8).

Дополнительно проведем ЕL || CK, где L  HK, CK  HK, F — точка пересечения HK и Оу. Искомая площадь может быть определена так:

S_ABCDE = S_FGCK - S_CKD - S_ELD - S_ELH + S_AFH - S_AGB.

Каждый из треугольников — прямоугольный с известными катетами.

Ответ. 36.

17.9. Пусть x + y = u, y - x = v. Тогда

а множество решений этой системы проецируется на прямую u = 2. Другими словами, нас интересуют все значения v, при каждом из которых система неравенств (18), (19) имеет хотя бы одно решение. Пусть u — независимая переменная. Она будет абсциссой, а f(u) — ординатой для исследуемой нами плоскости. Величина v — параметр. График функции f(u) — парабола, если v^2 - 1 /= 0. Она обращена ветвями вверх при v^2 - 1 0 и ветвями вниз при v^2 - 1 0. Отдельно нужно рассмотреть случай v^2 - 1 = 0.

Итак, перед нами три случая.