Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

15.10. Обозначим первый сомножитель через А, а второй через В, тогда данное неравенство равносильно совокупности двух систем

При А = 0 получаем x = 1. Так как при x = 1 В не существует, то первая система не имеет решений.

Перейдем теперь ко второй системе. Для решения неравенства

log_{tg x} (2 + 4 cos^2 x) >= 2

нет необходимости рассматривать случай 0 tg x 1, так как А не существует при этих значениях tg x. Если же x 1, то получим

2 + 4 cos^2 x >= tg^2 x. (1)

Выражаем tg^2 x через cos^2 x (равносильность при такой замене не нарушается):

т. е. cos^2 x >= 1/4 , или

cos x = - 1/2 , cos x >= 1/2 .

Нанесем решения этих неравенств на тригонометрический круг (рис. P.15.10). Приняв во внимание условие tg x 1, получим решение системы.

Ответ./₄ + k x = /₃ + k.

Глава 16

Трансцендентные уравнения

16.1. Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим немедленно следует, что правая часть данного уравнения не меньше двух. Однако его левая часть не может стать больше двух. Поэтому остается лишь одна возможность:

Последнее равенство достигается лишь при x^2 = 1, т. е. при x = ±1. Подставляя эти значения в левую часть первого уравнения, получим

2 sin^2 1/2 sin^2 ¹/₆ 2.

Таким образом, исходное уравнение не имеет решений.

16.2. Так как ¹/_{cos^2 x} = tg^2 x + 1, то уравнение можно переписать в виде

2^{2 tg^2 x} + 2 · 2^{tg^2 x} - 80 = 0,

откуда

2^{tg^2 x} = 8, tg^2 x = 3, tg x = ±3, x = n ±/₃

(второе уравнение 2^{tg^2 x} = -10 не имеет решений).

Ответ.n ±/₃.

16.3. Так как в условие одновременно входят tg x и etg x, то мы можем воспользоваться неабсолютным тождеством ctg x = ¹/_{tg x}, не опасаясь нарушения равносильности. Получим уравнение

(tg x)^{sin x} = (tg x)^{-cos x}.

Если tg x 0, то sin x и cos x - дробные числа, и обе части равенства теряют смысл. При tg x = 0 и sin x обращается в нуль, т. е. левая часть теряет смысл.

Если tg x 0, но /= 1, то sin x = -cos x, откуда tg x 0, что противоречит сделанному предположению. Остается tg x = 1, x = (4k + 1)/₄.

Ответ. (4k + 1)/₄.

16.4. Данное уравнение можно записать так:

sin (2^x + 2^x - 1) = 1/2 ,

откуда

2^x + 2^x - 1 = n + (-1)ⁿ /₆, или 2^x = ²ⁿ/₃ + (-1)ⁿ /₉.

Какое бы положительное число ни стояло в правой части, уравнение будет иметь решение.

Неравенство

²ⁿ/₃ + (-1)ⁿ /₉ 0

выполняется при n

 >= 0.

Ответ. log₂ [²ⁿ/₃ + (-1)ⁿ /₉], где n >= 0. 

16.5. Уравнение можно переписать так:

lg sin x + lg sin 5х + lg cos 4x = 0,

или в виде системы

Из первого уравнения следует, что |sin x| = 1, |sin 5х| = 1, |cos 4x| = 1 одновременно. С учетом ограничений придем к системе

Из первого уравнения x = /₂ + 2n. Подставляем во второе и третье уравнения:

sin [5(/₂ + 2n)] = sin /₂ = 1, cos [4(/₂ + 2n)] = cos 0 = 1.

Ответ./₂ + 2n.

16.6. Обозначив lg (sin x + 4) = y, получим уравнение

y^2 + 2y - ⁵/₄ = 0,

y которого два корня: y₁ = -⁵/₂, y₂ = 1/2 .

Для первого корня получим

lg (sin x + 4) = -⁵/₂,

откуда

Так как  то соответствующих значений x нет.

Для второго корня получим

lg (sin x + 4) =  1/2 ,

откуда

Так как  то можем найти x.

Ответ.

16.7. Данное уравнение эквивалентно системе

Уравнение можно преобразовать, если сгруппировать sin x и sin^3 x:

sin x (1 - sin^2 x) -  1/4 cos x = 0, или sin x cos^2 x - 1/4  cos x = 0.

Так как sin x 0, то cos^2 x 1, и любое решение уравнения

sin x cos^2 x -  1/4 cos x = 0

удовлетворяет неравенству

sin x -  1/4 cos x 0.

Запишем уравнение в виде

cos x(sin 2x -  1/2 ) = 0.

Так как sin x /= 1 и sin x 0, то cos x /= 0. Остается

sin 2x = 1/2 ,

откуда

x₁ = n + /₁₂, x₂ = (2n + 1)/₂ - /₁₂.

Из всех ограничений осталось удовлетворить только одному: sin x 0. Чтобы добиться этого, нужно для x₁ и x₂ взять n = 2k.

Ответ. 2k + /₁₂; 2k + ⁵/₁₂.

16.8.

Данное уравнение равносильно системе

Условие sin x 0 содержится в уравнении, так как справа стоит всегда неотрицательное число, а если cos x = 0, то sin x /= 0.

Рассмотрим следствие исходного уравнения

sin x = ±8 cos x,

а в конце проверим выполнение условий: sin x 0 и cos^2 x /= ¹/₈. Получим

tg x = ±8, x = n + arctg 8.

Если tg x = ±8, то tg^2 x + 1 = 9 и cos^2 x = ¹/₉ /= ¹/₈. Чтобы проверить выполнение условия sin x 0, рассмотрим два случая.

Если n = 2k, то x = 2k ± arctg 8. Это — углы, лежащие в первой и четвертой четвертях; условие sin x 0 выполняется лишь для тех из них, которые лежат в первой четверти: x₁ = 2k + arctg 8.

Если n = 2k + 1, то x = 2k + ± arctg 8. Здесь нужно выбрать знак минус, так как только тогда мы получаем угол, лежащий во второй четверти.

Ответ. 2k + arctg 8; (2k + 1) - arctg 8.

16.9. Данное уравнение эквивалентно такому:

( 1/2 )^x = ^4k + 1/₂₀.

Так как x 0, то ( 1/2 )^x заключено между нулем и единицей. Следовательно, 0 ^4k + 1/₂₀ 1, откуда 0 = k = 4.

Для каждого из этих k находим соответствующее значение x.

Ответ. log₂ ²⁰/_4k + 1, где k = 0, 1, 2, 3, 4.

16.10. Решаем квадратное уравнение

Стоящее под корнем выражение неотрицательно, если -1 - 5 = m = -1 + 5.

Делаем следующий шаг: