Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Когда перед корнем взят минус, то стоящее справа положительное выражение не превзойдет единицы, а потому может быть косинусом. Когда перед корнем поставлен плюс, нужно, чтобы

После возведения в квадрат, учитывая полученные вначале ограничения для m, придем к системе

y которой два интервала решений:

-1 - 5 = m = -3,    1 = m = -1 + 5.

Ответ. При -1 - 5 = m = -1 + 5, x = 2n ± arccos A,

при -1 - 5 = m = -3 и 1 = m = -1 + 5, x = 2n ± arccos B, где

16.11. Решаем квадратное уравнение относительно lg sin x:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: 2 а^2 - 2 >= 0, т. е. а = -1, а >= 1.

Поскольку

то правая часть не должна превосходить единицу, а потому

Когда а >= 1, нужно рассмотреть лишь неравенство

откуда (с учетом ограничения а 1) получаем а 2. Если же а = -1, то  всегда отрицательное число, а чтобы и число  было неположительно, должно быть еще а >= -2.

Ответ. При а = -2

при -2 = а = -1 и при а >= 2

при -1 а 2 решений нет.

16.12. Данная система равносильна такой:

Решая входящие сюда два уравнения, получим

Из первого уравнения большой системы следует, что второе и третье неравенства выполняются одновременно. Поэтому достаточно потребовать

Аналогично убеждаемся, что условие 3x - 4у - 15 /= 1 выполняется при n /= -⁴¹/₁₀, т. е. всегда, ибо n — целое.

Неравенство x + 2y 0 справедливо при всех n 1,5, т. е. n >= 2, а условие x + 2

y /= 1 выполняется при n /= 1,9, т. е. всегда.

Ответ.

где n = 2, 3, 4, ... .

16.13. Если 4^{cos^2 x} = u, то

4^{sin^2 x} = 4^{1 - cos^2 x} = ⁴/_u.

Следовательно, левая часть уравнения обращается в ⁴/_u + u, где u 0. В силу неравенства, связывающего среднее арифметическое чисел u и ⁴/_uсо средним геометрическим этих же чисел, имеем

⁴/_u + u >= 4.

Для оценки правой части уравнения выделим полный квадрат:

-8x^2 + 12|x| -  1/2  = -2( 2|x| - ³/₂)^2 + 4 = 4.

Поскольку левая часть уравнения не может стать меньше 4, в то время как правая его часть не может превзойти 4, остается проверить те два значения x = ± 3/4 , при которых правая часть достигает своего наибольшего значения. Непосредственной проверкой убеждаемся, что x = ± 3/4   — корни данного уравнения.

Ответ.x = ± 3/4 .

16.14. Запишем уравнение в виде

или

т. е.

Так как sin x = 1, а

то (1) имеет единственное возможное решение, когда обе части равенства равны 1. Правая часть равна 1 при x = 0,5. Вычислим sin x при x = 0,5: sin 0,5 = sin /₂ = 1.

Ответ. 0,5.

Глава 17

Функции и их свойства

17.1. Запишем данную систему в виде

которую решим относительно f(2x +

1) и g(x - 1):

В уравнении (1) осуществим замену переменной: x - 1 = y, т. е. x = y + 1. Тогда

В уравнении (2) сделаем замену: 2x + 1 = z, т. е. x = ^z - 1/₂. Тогда

Теперь мы знаем, что

Подставим эти значения в неравенство

4f(x) + g(x) = 0,

которое требуется решить по условию задачи. Получим

или после простых преобразований:

x + 1 >= 0, т. е. x >= -1.

Ответ.x >= -1.

17.2. Сначала заметим, что

f(x) = x(x^2 - 6x + 9) = x(x - 3)^2.     (3)

Теперь подставим в (3) вместо x выражение f(x):

f(f(x)) = f(x)[f(x) - 3]^2 = x(x - 3)^2(x^3 - 6x^2 + 9x - 3)^2.    (4)

Уравнение f(f(x)) = 0 имеет корни x₁ = 0, x₂ = 3, а также корни уравнения

x^3 - 6x^2 + 9x - 3 = 0.    (5)

При всех x = 0 значения (6) отрицательны. При всех x >= 4 значения (6) положительны. Поэтому все корни (6) лежат в интервале (0, 4). Найдем корни производной функции (6):

y' = 3x^2 - 12x + 9 = 3(х^2 - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3).

При x = 1 значение y достигает максимума y = 1, а при x = 3 — минимума -3. Следовательно, функция (6) пересекает по одному разу ось Ox на каждом из интервалов (0, 1), (0, 3), (3, 4), т. е. имеет 3 корня. Таким образом, уравнение (2) имеет 5 различных корней.

Ответ. 5.

17.3. Из второго уравнения находим

5z =  + 2k, k — целое,

т. е.

z = ^{1 + 2k}/₅, k — целое.

Подставим в первое уравнение:

5 · 2^{x^2 - 2xy + 1} = (1 + 2k)3^y^2 - 1. (7)

Если y — целое, то 3^y^2 - 1 — целое при всех y /= 0. Рассмотрим вначале случай y = 0. Тогда уравнение (7) примет вид

5 · 3 · 2^{x^2 + 1} = 2k + 1,

и целых решений y него нет, поскольку при любых целых x слева — четное число, а справа — нечетное. Итак, y

 /= 0. Так как множителя 3 в левой части (7) нет, то это уравнение удовлетворяется только при y^2 = 1. При y = 1 получим

5 · 2^{x^2 - 2xy + 1} = 2k + 1, т. е. 5 · 2^(x -1)^2 = 2k + 1.

Левая часть последнего уравнения будет четным числом при всех целых x /= 1. Правая часть — нечетное число. Поэтому есть единственная возможность x = 1, а k = 2.

Получим решение: x = 1, y = 1, z = 1.

При y = -1 придем к уравнению

5 · 2^{(x + 1)^2} = 2k + 1,

которое удовлетворяется только при x = -1 и k = 2. Находим еще одно решение системы: x = -1, y = -1, z = 1.

Других решений y системы нет.

Ответ. (1, 1, 1), (-1, -1, 1).

17.4. Неравенство

|x + 2| = x + 2

имеет решение x >= -2.

Обозначим

2^{x - 1} = y, sin ^x/₂ = z.   (8)

Тогда уравнение, входящее в систему, примет вид

(4у + y + ¹/_y)z + (1 - 2z^2) = 3 + 2y^2,

а после простых преобразований

2z^2 - (5у + ¹/_y)z + 2(1 + y^2) = 0.   (9)