Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

С его помощью можно выразить x + у через t₃, а из уравнения zt₃ =  1/3 можно выразить через t₃ и неизвестное z. Подставляя эти выражения в (2), получим

2t₃ + 9 = 3t₃,

откуда

t₃ = 9.

Дальнейшее решение системы не представляет труда. Находим последовательно: t₂ = 11, z = ¹/₂₇, у = ¹/₃₃. Из уравнения (2) определяем x = ⁵/₁₉₈ и

t₁ = ¹/_3x= ⁶⁶/₅. Итак, первый рабочий работал 13 ч 12 мин.

Эту же задачу можно было бы решить с помощью меньшего числа неизвестных, если ввести в рассмотрение, помимо величин x, у и z, имеющих прежний смысл, величину t, обозначающую время, в течение которого рабочие работали вместе, т. е. время работы третьего рабочего. Это привело бы нас к системе:

t(x + у + z) = ⁵/₆     (1')

(за время t рабочие сделали вместе ⁵/₆  всей работы),

tz = (t + 2)у =  1/3      (2')

(за время t третий рабочий сделал треть всей работы, а второму на это потребовалось на 2 ч больше),

¹/_x + y + 9 = ¹

/_z     (3')

(первый и второй рабочие выполняют всю работу на 9 ч быстрее, чем третий, работая один).

Поскольку tz = 1/3 , то из (1') найдем 

x + y = ¹/_2t. 

Вместе с z = ¹/_3t подставим в (3'). Получим

t = 9.

Как и прежде, найдем последовательно z, у и x. На вопрос задачи можно ответить, вспомнив, что первый рабочий работал столько, чтобы успеть сделать  1/3 всей работы, т. е. ¹/_3x.

Конечно, второе решение выглядит более изящно, чем первое. Однако признать его лучшим трудно, поскольку за те простые уравнения, от которых мы отказались, пришлось уплатить некоторым усложнением логики.

А теперь приведем арифметическое решение этой задачи — решение, в котором удается обойтись вообще без составления уравнений.

Так как рабочие совместно выполнили 1 - ¹/₆ = ⁵/₆ всей работы, причем третий сделал 1/3 , то на долю первого и второго осталось ⁵/₆ -  1/3 =  1/2 всей работы. Следовательно, если бы первый и второй успели выполнить всю работу, то третий за то же самое время сделал бы  2/3 ; ему останется 1 - 2/3  =  1/3 , на что ему потребовалось бы в силу последнего условия задачи 9 ч.

Так как каждый рабочий сделал одинаковое количество деталей, т. е.  1/3 всей работы, то третий работал ровно 9 ч. Тогда второй работал 9 + 2 = 11 ч. Так как он тоже сделал  1/3 всей работы, то его производительность равна ¹/₃₃ всей работы в час. Мы знаем, что первый и второй тратят на  1/2 всей работы столько же, сколько третий на 1/3 , т. е. 9 ч. Второй сделает за это время 33 · 9 = ³/₁₁ всей работы. Следовательно, на долю первого приходится  1/2 - 

³/₁₁ = ⁵/₂₂. Его производительность ⁵/₂₂ : 9 = ⁵/₁₉₈ в час. Свою треть работы он выполнил за  1/3  : ⁵/₁₉₈ = 13¹/₅ (ч), т. е. за 13 ч 12 мин.

Хотя решение выглядит намного красивее, чем первые два, его тоже трудно назвать существенно лучшим. Взгляните внимательно на уравнения второго решения, и вы заметите, что третье решение получено почти «дословным» пересказом этих уравнений.

Таким образом, на пути к решению задачи вас не должно останавливать большое число неизвестных, которые, по вашему мнению, следует ввести.

Однако старайтесь не вводить неизвестные, размерность которых не встречается в условии и не может быть получена как комбинация элементов условия. Введение таких неизвестных может усложнить задачу.

Вот простой пример.

Пример 2. Расстояние между двумя пунктами A и В пароход проходит по течению реки на а ч быстрее, чем то же расстояние в стоячей воде, и на b ч быстрее, чем против течения (b а 0). За какое время пароход проходит расстояние от A до В по течению?

Если ввести в рассмотрение неизвестные: v — скорость парохода в стоячей воде, w — скорость течения реки, x

— расстояние, то получим систему двух уравнений с тремя неизвестными:

Найти из этой системы величину ^x/_v + w можно, если сделать следующие преобразования:

и обозначить ^v/_x = у, ^w/_x = z. Мы придем к системе относительно у и z, решив которую, вычислим ¹/_y + z.

Однако такую систему можно было получить сразу, если бы мы не ввели в качестве неизвестного x пройденное пароходом расстояние.

В условии задачи не было чисел, выраженных в километрах, однако расстояние между пунктами являлось существенным связующим звеном. Это означает, что мы должны были принять его за единицу, а скорости v и w выражать в частях расстояния, пройденных за один час. В результате мы пришли бы к системе

которую не пришлось бы преобразовывать.

Разберем еще одну задачу, на примере которой видно, как решаются задачи на движение.

Пример 3. Из пункта С в пункт D выехал товарный поезд. Через 5 ч 5 мин навстречу ему из пункта D выехал пассажирский поезд. Они встретились в каком-то пункте А. После этого пассажирский поезд приехал в пункт С через 4 ч 6 мин, а товарный — в пункт D через 12 ч 55 мин. Сколько времени каждый поезд находился в пути?

Условия задачи можно отразить на схеме (рис. 18.1), где буквой В обозначено положение товарного поезда в момент выхода пассажирского из пункта D.