Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

24.13. Известно, что arcsin x + arccos x = /₂ . Поэтому данную функцию удобно преобразовать так, чтобы воспользоваться этим соотношением.

24.14. Воспользоваться преобразованием нормирования:

после чего коэффициенты при sin  и cos  можно объявить косинусом и синусом общего аргумента , т. е.

Функция у достигает своего наименьшего значения

когда sin ( + ) = -1, и наибольшего значения

при sin ( + ) = 1. (!)

24.15. Систему естественно привести к виду

Свободные члены равны, соответственно, 5^2, 12^2 и 5 · 12. Удобно каждое из соотношений разделить на его свободный член.

Вторые указания

K главе 1

1.1. Из треугольника AO₁D определить АO_1; если известен радиус окружности O₁ (см. рис. I.1.1 на с. 114).

1.2. Зная AB, можно найти AD и радиус ВО₁ описанной окружности (рис. II.1.2[15]). Нужно лишь заметить, что угол ABD равен /₂ - , а ВE = ^АB/₂.

1.3. Возможны два случая взаимного расположения треугольника и окружности. Либо окружность будет вписана в треугольник так, что каждая точка касания делит соответствующую сторону пополам, либо одна вершина треугольника окажется внутри окружности, а две другие — вне.

Найдите решение, не зависящее от взаимного расположения окружности и треугольника. Для этого достаточно рассмотреть треугольник, который получится, если соединить середины сторон данного треугольника.

1.4. Чтобы найти отношение площадей треугольников А₁В

₁С и АВС, нужно применить теорему об отношении площадей треугольников, имеющих равный угол.

В обозначениях, введенных на рис. II.1.4. имеем

С помощью теоремы о биссектрисе внутреннего угла треугольника остается выразить а₁, a₂, b₁, b₂, c₁, с₂ через а, b и с.

1.5. Если центр вписанной в треугольник окружности обозначить через О, то площадь треугольника АВС можно будет вычислить как сумму площадей треугольников АОВ, ВОС и СОА. При этом каждая из сторон АО, ВО и СО может быть выражена через радиус r вписанной окружности. Площадь треугольника А₁В₁С₁ тоже разбивается на три площади: А₁ОВ₁, В₁

ОС₁ и С₁ОА₁. Остается углы А₁ОВ₁, В₁ОС₁ и С₁ОА₁ выразить через углы треугольника АВС.

1.6. Из данного соотношения между площадями треугольников АDС и АВD, имеющих общую сторону АD и одинаковые углы при вершине А (поскольку АD — биссектриса треугольника АВС), можно найти отношение сторон AC : AB. Далее применить теорему синусов.

1.7. Площадь треугольника САD (D — точка пересечения биссектрисы внешнего угла А треугольника АВС с продолжением стороны СВ) можно вычислить двумя способами, используя лишь элементы, участвующие в задаче.

1.8. Сумма двух сторон треугольника, не лежащих против угла А, участвует в выражении площади через полупериметр и радиус вписанной окружности и в выражении через биссектрису и синус половинного угла. Из этих двух выражений сумму b + с нужно исключить.

1.9. Отношение отрезков АО и

ОМ дано. Эти отрезки можно рассматривать как отрезки, на которые сторона AM треугольника АВМ делится биссектрисой ВО. В результате мы перейдем к отношению отрезков AB и ВМ, последний из которых легко выражается через стороны данного треугольника.

Аналогично нужно поступить с отношением отрезков ВО и ON.

1.10. Угол РМА равен углу QОА (рис. II.1.10). Чтобы найти МР, нужно рассмотреть сначала треугольник РМА, а затем треугольник ОАQ.

1.11. С помощью первого указания можно получить одно уравнение, связывающее углы данного треугольника. Ко второму уравнению нас приведет условие, в силу которого высота ВQ треугольника АВС (рис. II.1.11) в 6 раз больше высоты ОQ треугольника АОС. Достаточно выразить АQ из треугольников АВQ и АОQ, заметив при этом, что угол ОАQ является дополнительным для угла С.

1.12. После того как получено соотношение

^h/_{sin C} + ^h/_sin B = k

использовать условие, согласно которому В - С = /₂, с тем, чтобы получить уравнение относительно одной тригонометрической функции неизвестного угла С. Для достижения этой цели можно, например, в написанное выше соотношение подставить В = /₂ + С. После этого полученное соотношение удобно возвести в квадрат.

1.13. Способ 1. Через x

, y и z можно выразить площадь треугольника:

ха + yb + zc = 2S.

Еще три соотношения, в которых участвуют x, y и z, получим, если выразим каждый из отрезков АО, ВО и СО из двух прилегающих к нему треугольников.

Способ 2. Связать отрезки l, m и n удобно с помощью теоремы косинусов для каждого из трех треугольников АОВ, АОС и ВОС, сумма площадей которых равна площади треугольника АВС.

1.14. Остается использовать условие, что А - В = . С помощью формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумму придем к тригонометрическому уравнению относительно ^A + B/₂.

1.15. Площадь треугольника АВС, которую мы временно обозначим через S, равна

S =  1/2 ah_a = 1/2 bh_b.

Кроме того, S выражается через а, b, l и sin ^C/₂ , если треугольник АВС разделить биссектрисой СD на два треугольника.