Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

19.15. После того как числа, о которых говорится в задаче, будут обозначены буквами а, b и с и условия задачи будут переведены на математический язык, мы получим два уравнения с тремя неизвестными. Достаточно ли этого, чтобы решить задачу?

19.16. Воспользоваться методом математической индукции, что позволит доказать формулы для а_n и b_n.

19.17. Решив данное тригонометрическое уравнение, получим две серии углов, каждая из которых является арифметической прогрессией с известной разностью и первым членом, равным нулю. В каком случае две арифметические прогрессии могут быть объединены в одну?

K главе 20

20.1. Данное неравенство эквивалентно такому:

¹/_2^2 + ... + ¹/_n^2 1.

Оценить каждое слагаемое так, чтобы легко было оценить всю сумму, стоящую слева.

20.2. Домножить все члены на d.

20.3. Чтобы разложить дробь  на простейшие, можно начать с разложения дроби , а результат умножить на .

20.4. Слева стоит сумма членов геометрической прогрессии.

20.5. Выписать все коэффициенты многочлена 1 + x + 2x^2 + ... + nxⁿ и под ними написать коэффициенты того же многочлена, записанные в обратном порядке. Рассмотреть сумму произведений стоящих друг под другом чисел.

20.6.

В левой части неравенства стоит абсолютная величина суммы членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем -2x.

20.7. Каждое слагаемое k · k! можно представить в виде (k + 1)k! - k(k - 1)!. При этом следует иметь в виду, что 0! = 1. (!)

20.8. Коэффициенты в правой части образуют арифметическую прогрессию с разностью 3. Если домножить S_n на x^2, то справа получим сумму, все члены которой, кроме крайних, имеют коэффициент, отличающийся от подобного коэффициента S_n на 3.

20.9. Рассмотреть тождество

(x + 1)⁵ = x⁵ + 5x⁴ + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1

и положить в нем последовательно x = 1, 2, ..., n.

20.10.

В n-й группе n членов. Рассмотрите отдельно случаи, когда n четное и n нечетное.

20.11. Удобнее найти 2S_n sin /_2n.

20.12. Можно разбить эту сумму на 1 00 сумм:

каждая из которых является суммой членов геометрической прогрессии. Однако попытайтесь решить эту задачу проще, обозначив искомую сумму через в и осуществив над ней некоторое несложное преобразование.

20.13. Общий член ряда имеет вид  Чтобы воспользоваться формулой геометрической прогрессии, нужно избавиться от 2 n в числителе. Чтобы понять, как это лучше сделать, запишите рядом два соседних члена ряда.

K главе 21

21.1. Если все, сидящие за круглым столом, одновременно сдвинуться на один стул в одном направлении, то у каждого останутся те же самые соседи.

21.2. Представить искомое число в виде разности числа всех перестановок из пяти элементов и перестановок, не удовлетворяющих условиям задачи.

21.3. Три разряда каждого числа должны быть заняты двойками. В оставшиеся четыре разряда можно поместить любые из восьми цифр, что даст 8⁴ вариантов.

21.4. Задачу следует начать решать в предположении, что есть разные цифры l₁, l₂ и l₃, которые входят в каждое число, а остальные пять цифр равноправны.

21.5. Легче найти число всевозможных размещений экскурсантов по каютам в предположении, что каюты неравноценны. Пусть таких размещений будет N

, а размещений, о которых идет речь в задаче, K. Поскольку из каждого размещения экскурсантов по равноценным каютам можно получить 8! размещений по неравноценным каютам, то K · 8! = N.

21.6. В записи k-го члена суммы произвести сокращение на k.

21.7. Нужно найти такие n, для которых равенство

выполняется при некотором k.

21.8. Представить а + b + с + d в виде (а + b) + (с + d) и осуществить возведение в n-ю степень по правилам возведения в степень двучлена.

21.9. Коэффициент при x^k будет равен числу членов, содержащих x^k при почленном перемножении двух одинаковых многочленов. Придется различать случай, когда члены, содержащие x^k, могут быть получены в результате умножения друг на друга членов суммы 1 + x + x

^2 + ... + x^{k - 1} + x^k (0 = k = n - 1), от случая, когда n - 1  k = 2(n -1).

21.10. Записать выражение для общего члена разложения и сравнить с выражением для десятого члена разложения.

21.11. Сгруппировать члены внутри скобки и последовательно дважды применить формулу бинома.

21.12. Если обозначить через Р_n число способов, которыми можно разбить на группы последовательность из n элементов, то можно получить рекуррентную формулу для Р_n.

21.13. Если на плоскости проведены m параллельных прямых, то они разбивают плоскость на m + 1 частей. Когда мы пересечем их некоторой прямой, то каждая часть разобьется на две. Что произойдет, если к уже проведенным k непараллельным прямым добавить еще одну?

K главе 22

22.1. Перенести acrtg ⁷/₂₃ в правую часть, после чего оценить значения обеих частей с тем, чтобы они попали в интервал (0, /₂). (!)

22.2. Каждое из двух первых слагаемых лежит в интервале (0, /₄). Это позволяет воспользоваться формулой тангенса суммы и заменить два первых слагаемых одним.