Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

22.3. Начать нужно с представления в виде значения одной тригонометрической функции первого и третьего слагаемых. Чтобы их сумма попала в область главных значений арккотангенса, придется прибавить к ней . (!)

22.4. Если 0 = x = 1, то сумма существует и лежит в интервале [0, ], т. е. в интервале монотонности косинуса.

22.5. Начать нужно с выяснения, в каком интервале лежит (x^2 + x - 3), если 0 = x = ^{3 - 1}/₂.

22.6. Убедившись в существовании арксинусов при 0 = x = 1, перенести /₄ в левую часть, а вычитаемое — в правую, затем доказать, что левая часть равенства будет лежать в интервале монотонности синуса. (!)

22.7. Так как x -1, то значение каждой функции, входящей в правую часть, можно уточнить с тем, чтобы сумма попала в интервал монотонности синуса и тангенса. (!)

22.8. Из данного уравнения можно найти значения arcsin x. Из этих значений остается выбрать те, которые лежат в области значений арксинуса. (!)

22.9. Поскольку arcsin x — нечетная функция, то одновременно с корнем x уравнение имеет корень -x. Это позволяет искать лишь неотрицательные корни.

22.10.

Из условия следует, что x 0. Левая часть заключена в интервале [0, ], который является интервалом монотонности косинуса.

22.11. Воспользовавшись тем, что 2 + cos x 0 и 2 cos^2 x/₂ >= 0, можно уточнить интервал значений левой части уравнения.

22.12. Левая и правая части лежат в интервале монотонности синуса. (!)

22.13. Уточнение интервалов с тем, чтобы получить равносильное уравнение, приведет к нерациональному способу решения. Проще перенести, например, arctg (x + 1) в правую часть и взять котангенсы от обеих частей. Каким образом может быть нарушена равносильность?

K главе 23

23.1. Поскольку sin x = 1, то log₃ sin x = 0. (!)

23.2. В указанной последовательности действий первое ограничение накладывается на трехчлен x^2 - x - 1, он должен быть положительным. Следующее ограничение накладывается уже на log _1/2 (x^2 - x - 1). (!)

23.3. Нужно пройти всю последовательность действий, начиная с самого внутреннего, и записать все встречающиеся при этом ограничения. (!)

23.4. Найдя область определения функции arccos (x

^2 - 3x + 1), исключить точки, в которых не существует tg 2x. (!)

23.5. Решить графически систему неравенств, обеспечивающих существование данного выражения. (!)

23.6. Способ 1. Доказательство можно вести от противного, предположив, что функция имеет период T.

Способ 2. Найти корни функции и исследовать их в предположении, что у функции имеется период.

23.7. Записать тождество, равносильное условию, что f(x) имеет своим периодом число T. Рассмотреть это тождество при x = 0 и x = ±T. (!)

23.8. Ясно, что любое общее кратное периодов cos ^3x/₂ и sin ^x/₃ будет периодом данной функции. Доказать, что наименьшее общее кратное будет основным периодом.

K главе 24

24.1. Заменить cos^2 x на 1 - sin^2 x. В результате получится квадратный трехчлен относительно sin x

.

24.2. Записать у как одну функцию другого аргумента.

24.3. Привести к одной тригонометрической функции другого аргумента.

24.4. Выражение можно представить в виде А^2 + В^2 + С, где С — константа.

24.5. Чтобы раскрыть знаки абсолютных величин, нужно нанести на числовую ось точки ±1 и ±2, которые разобьют ее на пять интервалов.

24.6. Воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим нескольких чисел.

24.7. Чтобы найти максимум AB + BC, удобно ввести углы x и у (рис. 1.24.7), имея в виду, что x + у =  - , и перейти с помощью теоремы синусов к тригонометрическим соотношениям. (!)

24.8. Если обозначить катеты основания через а и b, то боковая поверхность призмы равна

причем ab = 4.

24.9.

Квадрат должен быть вписан в шестиугольник так, чтобы не нарушалась симметрия, т. е. центр квадрата должен совпадать с центром шестиугольника.

24.10. Прежде всего необходимо обратить внимание на свойства квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе. Его дискриминант отрицателен и, следовательно, трехчлен не может быть равен нулю при действительных x.

Если обозначить теперь данную дробь через у, то можно получить квадратное уравнение относительно x, в котором у играет роль параметра.

24.11. Если ребра параллелепипеда обозначить через а, b и с, то условие задачи можно записать в виде системы

Из второго и третьего неравенств следует, что

ab + с(а + b) >= ab + 5с.

24.12. Чтобы найти наименьшее значение этой функции, естественно выделить полный квадрат. Однако удобнее вначале перейти от котангенсов к косекансам, что позволяет выразить функцию только через синусы:

Теперь в числителе следует выделить полный квадрат разности. При этом могут представиться два случая, в зависимости от знака произведения sin ( + x) sin ( - x). Чтобы не рассматривать их отдельно, можно необходимые преобразования записать так:

sin^2 ( + x) + sin^2 ( - x) = [|sin ( + x)| - |sin ( - x)|]^2 + 2 |sin ( + x) sin ( - x)|.