Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

13.33. При решении системы нам придется оба уравнения возводить в квадрат. Следовательно, в конце необходимо сделать проверку.

13.34. Получив из второго уравнения после подстановки в него найденного значения x выражение для |y|, нужно позаботиться о том, чтобы |y| >= 0.

13.35. Из третьего уравнения x + y =  - z. Следовательно, tg z = -tg ( - z) = -tg (x + y). (!!)

По формуле тангенса суммы и с помощью уравнения tg y = 2tg x можно выразить tg z через tg x и подставить в первое уравнение.

13.36. Получить уравнения с одинаковыми левыми частями и сравнить их. При решении квадратного уравнения обратить внимание на исследование.

13.37. Прежде чем возводить уравнения в квадрат, оставим в левой части первого уравнения sin x, а в левой части второго уравнения оставим cos x.

13.38. При решении уравнений возникнут арксинусы и арккосинусы, которые будут накладывать ограничения на а. Следует ли к этим ограничениям добавлять |а| = 1, |а + 1/2 | = 1, что вытекает непосредственно из условия?

13.39. Оценив правую и левую части уравнения, обнаружим, что равенство возможно лишь в случае, если обе равны четырем. B результате уравнение сводится к системе. B частности, следует обратить внимание на то обстоятельство, что левая часть равна 4 лишь при tg x = tg y = 1.

13.40. Способ 1. Преобразовать уравнение в сумму квадратов и заменить системой.

Способ 2. Уравнение преобразуется к сумме двух неотрицательных выражений, которая равна нулю. B результате получим систему

13.41. Способ 1. После преобразования данное уравнение примет вид

Первые два члена дополнить до полного квадрата и получить сумму неотрицательных слагаемых, которая равна нулю.

Способ 2. Уравнение можно записать в виде

(1 - cos x) cos y + sin x sin y = ³/₂ - cos x

и рассмотреть левую часть как однородное выражение относительно sin y и cos y. Остается оценить выражение A cos y + B sin y и правую часть уравнения.

13.42. Способ 1. Обозначив tg x = z, tg а = с, мы придем к выражению, которое должно быть тождеством относительно x. Остается вспомнить условие тождественного равенства двух многочленов.

Способ 2. Так как равенство

tg x + tg (а

- x) + tg x tg (а - x) = b

должно выполняться тождественно, т. е. при всех x, то оно должно быть верным и для конкретных значений x, например при x = 0 и x = /₄ . Найденные в результате значения а и b нуждаются в проверке.

13.43. На первый взгляд кажется естественным воспользоваться оценкой

sin^2 x + ¹/_{sin^2 x} >= 2, cos^2 x + ¹/_{cos^2 x} >= 2.

Однако это очень грубая оценка. B самом деле, если для одного из выражений достигается равенство, то другое обращается в бесконечность.

Следовательно, нужно преобразовать левую часть уравнения так, чтобы sin^2 x и cos^2 x не были разъединены. С этой целью удобно раскрыть скобки и заменить

sin⁴ x =  1/4 (1 - cos 2x)^2, cos

⁴ x =  1/4 (1 + cos 2x)^2.

13.44. Левую часть выражения

sin 2x - sin x cos 2x = ³/₂ ,

к которому приводится данное уравнение, удобно рассмотреть как A sin 2x + B cos 2x, где А = 1, B = -sin x, и оценить.

13.45. Задача сводится к уравнению типа sin  + cos  = 2, которое равносильно системе: sin  = 1, cos  = 1.

13.46. Найдя y из квадратного уравнения, следует использовать и его выражение через x (см. указание I, с. 150). При такой замене появляется опасность приобретения посторонних корней.

13.47. Данную систему уравнений удобно переписать в виде

Легко заметить, что следствием полученной системы является уравнение cos 7x = 0, содержащее в качестве корней не только все числа, для которых cos x = 0, но и все корни второго уравнения. B самом деле, при cos 7x = 0 получим cos^2 ^7x/₂ = 1 и, следовательно, cos^2 ^x

/₂ =  1/2 . Остается отсеять посторонние значения x.

13.48. Левая и правая части преобразуются к виду, когда в знаменателе и в числителе появляются общие множители. Нужно следить за ограничениями, а в конце провести отбор решений.

13.49. Все ограничения можно объединить: sin 4x /= 0. Эти значения нужно исключить из решений уравнения, полученного после преобразований.

13.50. Следить за равносильностью всех преобразований. Отобрать среди корней числителя те, которые не обращают в нуль знаменатель.

13.51. Из полученных значений t нужно отбросить те, для которых sin t = 0, cos t = 0 и cos 2t = 0, а также (это будет видно в процессе преобразований) cos 2t =  1/2 . Первые три ограничения можно объединить: sin 4t /= 0.

К главе 14

14.4. Когда мы заменим sin 2x и cos 2x на их выражения через tg x, могут быть потеряны те решения неравенства, при которых sin 2x и cos 2x существуют, а tg x не существует. Однако tg x входит в правую часть данного неравенства, а потому значения x, при которых tg x не существует, не могут быть решениями этого неравенства.

14.5. Способ 1. Чтобы найти секторы круга, в которых tg 2 x = 0, нужно вначале построить радиусы, соответствующие углам, для которых tg 2x = 0 и tg 2x не существует.