Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Способ 2. B результате применения формулы тангенса двойного угла возможна потеря решений: из области определения выпадают точки, в которых cos x = 0.

14.8. Так как коэффициент при старшем члене положителен, то знаки корней зависят от знака свободного члена.

14.10. Найти те значения k, при которых полученное неравенство осуществимо.

14.11. Воспользоваться тем, что sin x + cos x = 2 cos (x - /₄), и решить неравенство относительно y = cos (x - /₄).

14.12. Произведение cos x cos 3x, стоящее в знаменателе, выразить через cos 2x. Получится алгебраическое неравенство относительно y = cos 2x.

14.13. При возведении неравенства в квадрат достаточно потребовать, чтобы cos x >= 0.

14.15. Обозначить sin  через y и разложить получившийся многочлен третьей степени на множители, воспользовавшись теоремой о делителях свободного члена и первого коэффициента.

14.16. Выражение  можно преобразовать, воспользовавшись разложением sin 3x = sin (2x + x).

14.17. Так как абсцисса вершины параболы оказывается внутри интервала -1  z 1, а сама парабола направлена рогами вверх, то условие задачи равносильно тому, что ордината вершины положительна.

К главе 15

15.1. Неравенство сводится к квадратному, если положить log_{sin x}  2 = y. При этом необходимо следить за равносильностью преобразований.

15.3. Поскольку основание логарифма больше единицы, неравенство между логарифмами можно заменить таким же неравенством между cos x и tg x.

15.4. Остается перейти к системе тригонометрических неравенств, равносильной логарифмическому неравенству. При этом нужно помнить, что все функции, стоявшие в условии под знаками логарифма, должны быть положительными.

15.5. Для дальнейшего нужно иметь в виду, что условие 0 |а| 1 не равносильно неравенству -1 а 1.

15.6. При дальнейшем решении мы столкнемся с выбором целочисленного аргумента. Следует помнить, что мы имеем дело с |lg x|, а не с lg x.

15.7. Неравенство равносильно условию, что знаменатель положителен, если при этом arccos (x^2 - 3x + 2) существует и отличен от нуля.

15.8. Если 1 - x 0, то правая и левая части неравенства попадают в интервал от 0 до /₂ , который является общим интервалом монотонности для тангенса и косинуса. Если взять косинус от правой и левой частей неравенства, а знак неравенства изменить на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

15.9. Неравенство 4x - x^2 - 3 1 удовлетворяется лишь при x = 2. Докажите, что тогда оба сомножителя должны быть раны единице.

15.10. Первая система не имеет решения, поскольку из условия А = 0 следует, что tg x

= 1. Но tg x стоит в основании логарифма и не может быть равным единице. Остается решить вторую систему, которую можно упростить, заметив, что tg x 1.

К главе 16

16.3. При исследовании нужно помнить, что отрицательное число в дробной степени не имеет для нас смысла.

16.4. Решив простейшее тригонометрическое уравнение, получим показательное уравнение, которое нужно исследовать, в зависимости от значений, принимаемых целочисленным аргументом.

16.5. Вспомнить, когда произведение синусов и косинусов может равняться единице.

16.7. Полученное уравнение легко решить, если записать sin^3 x = = sin x (1 - cos^2 x). При решении распадающегося уравнения, которое получится в результате такой замены, нужно постоянно иметь в виду ограничения.

16.8. При решении удобно на время забыть о возникающих ограничениях, а в конце проверить, для каких из найденных значений неизвестного они выполняются.

16.9. Использовать тот факт, что x 0.

16.10. При исследовании полезно иметь в виду, что cos x = 1 и дискриминант квадратного уравнения не должен быть отрицательным.

16.11. Удобно отдельно рассмотреть случаи а = -1, а >= -1, когда данное уравнение имеет неотрицательный дискриминант.

16.12. Вы должны получить систему, состоящую из двух уравнений, трех неравенств и двух ограничений /=.

16.13. Обозначив 4^{cos^2 x} через u (u 0), найдем, что левая часть, равная ⁴/_u + u, не может стать меньше 4. Чтобы оценить квадратный трехчлен, стоящий в правой части, можно выделить полный квадрат.

16.14.

К главе 17

17.1. Осуществить замену переменных: x - 1 =

y, 2x + 1 = z. Найти f(y) и g(z), что равносильно знанию f(x) и g(x).

17.2. Уравнение f(f(x)) = 0 имеет корни x₁ = 0 и x₂ = 3. Исследование функции y = x^3 - 6x^2 + 9x - 3 позволит определить число оставшихся корней интересующего нас уравнения.

17.3. Первое уравнение после подстановки примет вид

5 · 2^{x^2 - 2xy + 1} = (1 + 2k)3^y^2 - 1,

k — целое. При каких y

в правой части не будет множителя 3?

17.4. Полученное после подстановки квадратное уравнение относительно z имеет дискриминант, равный (3y - ¹/_y)^2 , что позволяет непосредственно рассмотреть возможные корни.

17.5. Касание функций f(x) и F(x) в точке М₀(x₀; y₀) означает совпадение ординат f(x₀) и F(x₀), а также угловых коэффициентов касательных при x = x₀, т. е. значений f'(x₀) и f(x₀).