Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Выразим теперь через r, А, B и С площадь треугольника А₁В₁С₁. Разобьем и его на три треугольника:

Чтобы найти угол А₁ОВ₁, рассмотрим четырехугольник А₁ОВ₁С. B этом четырехугольнике два угла прямых, а потому два других — угол А₁ОВ₁ и угол С — образуют в сумме развернутый угол, т. е. угол А₁ОВ₁ равен  - С. Аналогично находим углы В₁ОС₁ и С₁ОА₁.

Итак,

Остается найти отношение

Ответ. 2 sin ^A/₂ sin ^B/₂ sin ^C/₂ .

1.6. Так как B = 3С, то из соотношения между площадями мы получим

т. е. ^АС/_AB = 2, откуда, в силу теоремы синусов, ^{sin B}/_{sin C} = 2. Вспоминая, что по условию B = 3С, придем к тригонометрическому уравнению sin 3С = 2 sin С. Домножим обе части уравнения на cos С, получим sin 3С cos 3С = sin 2С. Преобразовав левую часть в сумму синусов, придем к уравнению

sin 4С + sin 2С = 2 sin 2С, или sin 4С = sin 2С.

Так как C — угол треугольника, меньший 1 (ведь 3C и

C — углы одного треугольника), то последнее уравнение может выполняться только в том случае, если

4C = - 2C, т. е. C = /₆ .

Находим остальные углы:

B = 3С = /₂, A = /₃.

Ответ./₃, /₆, /₂.

1.7. С одной стороны, площадь треугольника CAD (рис. Р.1.7) можно выразить через стороны b, l и угол между ними, а с другой стороны, — как сумму площадей треугольников АВС и ABD:

Приравнивая эти два выражения, найдем l(b - c) cos ^A/₂ = bc sin A,

или

l(b - c) cos ^A/₂ = 2bc sin ^A/₂ cos ^A/₂.

Так как cos ^A/₂ в треугольнике не может быть равен нулю, то на него можно сократить. Теперь найдем l.

Ответ.

1.8. Воспользуемся сравнением площадей. С одной стороны, S = pr = ^a + b + c/₂r, где через а обозначена искомая сторона. Находим отсюда, что 2S = ar + (b + c)r. С другой стороны, если биссектрису угла А обозначить через l_a, то

S = 1/2  l_a

b sin /₂ +  1/2 l_ac sin /₂ = 1/2 l_a(b + c) sin /₂

(рисунок сделайте самостоятельно). Из последнего равенства находим, что  Подставляем в выражение для 2S полученное раньше:

B последнем преобразовании мы учли условие задачи, согласно которому l_а = rq. Осталось ввести в рассмотрение радиус R описанной окружности. По условию R = prq. По теореме синусов

a = 2R sin  = 2prq sin ,

откуда r =^a/_2pq sin . Полученное соотношение позволяет определить a из последнего выражения для 2S. B самом деле, после подстановки получим

откуда после несложных преобразований найдем a.

Ответ.

1.9. B треугольнике ABC (рис. P.1.9) введем обозначения: ВМ = a₁, СМ = a₂, АN = b₁, СN = b₂. Так как ВО — биссектриса треугольника АВМ, то AB : ВМ = АО : ОМ = 3 : 1. Аналогично AB : АN = ВО : ОN = 1 : (3 - 1). Итак,

Величины a₁ и b₁ можно выразить через стороны треугольника

a₁ = ^ac/_b + с, b₁ = ^bc/_а + с.

После подстановки в предыдущие два равенства мы получим два однородных выражения относительно a, b и с:

^{b +}

c/_a = 3, ^a + c/_b = 1/2 (3 + 1),

из которых легко найти отношения a : b и с : b. Достаточно переписать эти равенства в виде

1 + ^с/_b = 3^a/_b, ^a/_b + ^с/_b = 1/2 (3 + 1).

Получим ^a/_b = ³/_c, ^с/_b =  1/2 .

Таким образом, треугольник ABC подобен прямоугольному треугольнику с углами в /₆ и /₃·

Ответ. Углы А, B и С равны /₃, /₂, /₆ соответственно.

1.10. Из треугольника MPA (рис. Р.1.10) находим MP = PA ctg . Но PA = OA - OP = ^q/_cos  - p. Таким образом,

Находим MQ:

Полезно заметить, что MQ можно было не вычислять, поскольку выражение для MQ должно получиться из выражения для MP с помощью замены p на q, а q на p.

Ответ.

1.11. Пусть AP = 3, CR = 22 (рис. Р.1.11) Используя метод «сравнения площадей» для треугольника ABC, получим

3a = 22 c.

Так как а = ^BQ/_{sin C}, с = ^BQ/_{sin A}

, то после сокращения на BQ получим

³/_{sin С} = ²²/_{sin А}^.      (1)

По условию BQ = 6OQ. Найдем отрезок AQ из треугольников ABQ и AOQ соответственно:

AQ = BQ ctg А = 6OQ ctg А, AQ = OQ ctg OAQ,

где OAQ = /₂ - С. Приравнивая эти два выражения, получим второе уравнение, связывающее углы треугольника:

6 ctg А ctg С = 1.      (2)

Остается решить систему из уравнений (1) и (2). Для этого возведем уравнение (1) в квадрат и воспользуемся формулой  Получим

9(1 + ctg^2 С) = 8(1 + ctg^2 А).      (1')

Из уравнения (2) следует, что

(2')

подставляя значение ctg^2 С в уравнение (1'), после несложных преобразований придем к биквадратному уравнению относительно ctg А:

32 ctg⁴ А - 4 ctg^2 А - 1 = 0.      (3)

Так как треугольник ABC по условию остроугольный, то нас интересуют лишь положительные корни уравнения (3). Легко убедиться, что оно имеет единственный положительный корень ctg А =  1/2 . Подставляя в (2), найдем ctg С = 1/3 . Теперь можно найти площадь данного треугольника:

S_ABC = 1/2 AP · a,

где АР = 3. Величину а найдем из треугольника BRC:

Ответ. 6 см^2.

1.12. Поскольку B - С = /₂, угол B — тупой (рис. P.1.12).

Так как

то соотношение b + с = k можно переписать так: 

откуда

h(sin С + cos С) = k sin С cos С.

Возведем последнее уравнение относительно sin 2 С. Корни этого уравнения

Если мы возьмем перед корнем знак минус, то получим sin 2С 0, чего быть не может, так как угол С острый, следовательно, 0 2С .

Остается