Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

19.17. Члены двух арифметических прогрессий, имеющих первый член, равный нулю, могут снова образовать арифметическую прогрессию в том и только в том случае, если разность одной прогрессии кратна разности другой прогрессии.

К главе 20

20.1. Воспользоваться оценкой

¹/_{(1 + k})^2 ¹/_{(1 + k})k.

20.2. Воспользоваться тем, что

20.4. Умножить правую часть на а - 1 и привести ее к виду

20.5. Разбить полученную сумму на три алгебраических слагаемых: 2n, произведение n на сумму чисел от 1 до n - 1 и сумму квадратов этих же чисел.

20.6. Бесконечная геометрическая прогрессия имеет сумму, если она бесконечно убывающая, т. е. |2x| 1.

20.8. Рассмотреть разность S_n - S_nx^2, в которой выделить геометрическую прогрессию.

20.9. Полученные равенства сложить и воспользоваться известными формулами для S_n, S_n

^2, S_n^3. 

20.10. Подсчитайте число четных (нечетных) членов, стоящих до n-й группы.

20.11. Каждое слагаемое после домножения на 2 sin /_2n представить в виде разности косинусов.

20.12. Нетрудно заметить, что ряд 2S отличается от ряда S на величину, которая легко может быть сосчитана.

20.13. Запишем два соседних члена ряда:  Если первый член разделить на 2 и вычесть из второго, получим  Это должно подсказать соответствующую процедуру с рядами. Только не забудьте предварительно обозначить искомую сумму через S.

К главе 21

21.1. Так как сосед справа и сосед слева неразличимы, то можно любого из сидящих оставить на месте, а остальных попросить пересесть на место, симметричное относительно того, кто остался на своем месте.

21.2. Обратить внимание на то, что, вычитая перестановки, в которых на первом месте стоит элемент а₁, и перестановки, в которых на втором месте стоит элемент а₂, мы некоторые перестановки вычтем дважды.

21.3. Поскольку в нашем распоряжении имеются семь разрядов, то выбрать места для трех двоек можно  способами.

21.4. Число не может начинаться с цифры 0. На сколько больше чисел мы получим, если не учтем это обстоятельство?

21.5. Экскурсантов для заселения первой каюты можно выбрать  способами, вторую каюту нужно заселить четырьмя из оставшихся и т. д.

21.6. Доказать, что .

21.7. После упрощений мы придем к квадратному уравнению относительно n и k, которое нужно решить в целых числах. Удобнее решать это уравнение относительно k.

21.8. Все получившиеся после раскрытия скобок члены не будут подобными. Остается сосчитать их число.

21.9. Если n — 1  k = 2(n — 1), то члены, содержащие x^k, могут быть получены лишь в результате перемножения членов суммы x^k -n + 1 + ... + ... + xⁿ — 1.

21.10. Мы приходим к неравенству , решить которое можно, придавая различные значения параметру k. B качестве таких значений удобно выбрать номера двух членов разложения, стоящих рядом с десятым членом.

21.11. Наиболее удобной является группировка

После того как мы применим формулу бинома и к (1 + x^2)^k, получим, что в общем члене содержится x^{100 - (5k} - 2m). Остается выяснить, принимает ли 5k - 2m все значения от 0 до 100, и если не все, то сколько значений окажутся пропущенными. Следует иметь в виду, что m, k

= 0, 1, ..., 20, но m = k.

21.12. Для получения рекуррентной формулы достаточно разобрать два случая: а) в первой группе один элемент (а₁); б) в первой группе два элемента (а₁, а₂).

21.13. Чтобы получить рекуррентную формулу, связывающую M_n и M_{n + 1}, где через M_n обозначен ответ задачи, нужно найти число точек пересечения (n + 1)-й прямой со всеми остальными. Как с этим числом связано количество вновь образовавшихся областей?

Рекуррентное соотношение будет иметь вид

M_{n + 1} = M_n + m + n + 1

К главе 22

22.2. После того как найдена сумма двух первых слагаемых, можно воспользоваться формулой синуса суммы, так как третье слагаемое положительно, но меньше /₄

, и вся сумма не больше /₂.

22.4. Так как оба слагаемых расположены в интервале [0, /₂], то все тригонометрические функции от них неотрицательны.

22.5. Воспользоваться формулами приведения с тем, чтобы под знаком арккосинуса стоял косинус, а не синус.

22.9. Если перенести acrsin ^3x/₅ в правую часть и взять синусы от обеих частей, то в предположении, что x 0, получим уравнение, равносильное данному.

22.10. После взятия косинусов от обеих частей уравнения получится иррациональное уравнение, при решении которого возможно приобретение посторонних корней.

22.11. Так как обе части лежат в интервале (-/₂, /₂), то от обеих частей данного уравнения можно взять тангенсы, что не нарушит равносильности.

22.13. Ясно, что в результате взятия котангенсов от обеих частей равенства мы можем получить посторонние корни, так как у неравных углов могут быть равные котангенсы. Однако возможна и потеря корней, если в интервал изменения углов попадает значение k.

К главе 23

23.6. Способ 1. B тождестве cos (x + T)^2 = cos x^2 удобно выбрать x = 0 и x = 2 T. Вместо второго значения можно выбрать другое иррациональное число.