Читаем Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы полностью

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Альберт Анатольевич Рывкин , Евгений Борисович Ваховский

Докажем теперь, что треугольник А₁А₂А₃ правильный. Для этого достаточно установить равенство треугольников A₂SB₁ и A₂SB₃, т. е. любых соседних из шести таких треугольников. Установим в них равенство углов при вершине S. Пусть C₂ — точка пересечения плоскости О₁ОО₂ с ребром SA₂. Прямоугольные треугольники О₁SC₂ и О₂SC₂ тоже равны. Отсюда углы О₁SC₂ и О₂SC₂ равны и, следовательно, равны треугольники B₁SA₂ и B₃SA₂. Таким образом, В₁А₂ = В₃А₂, т. е. А₂А₃ = А₁А₂. Итак, в основании пирамиды лежит правильный треугольник.

Из равенства треугольников B

₁SA₂ и B₃SA₂ следует также равенство треугольников A₁SA₂ и A₂SA₃, т. е. равенство всех боковых ребер. Это означает, что вершина S проецируется в центр основания А₁А₂А₃. Тем самым доказано, что пирамида правильная.

3.14. Достроим пирамиду до полной. Все параллельные сечения пирамиды подобны. Составим схематический рис. P.3.14, на котором А и B — стороны квадратов, равновеликих основаниям, M — сторона квадрата, равновеликого сечению, проходящему через середину высоты данной усеченной пирамиды. Последнее условие мы запишем так:

Из подобия треугольников, изображенных на рис. P.3.14, следует, что

откуда

Составим среднее арифметическое величин А и B:

что и требовалось доказать.

3.15. Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABCE (рис. P.3.15). Угол DAE равен углу между AD и BC. Обозначим его через x.

B треугольнике DAE

AD = а₁, AE = а.

Вычислим DE. Так как в дальнейшем мы воспользуемся теоремой косинусов, то удобнее находить DE^2.

Отрезок DO является медианой в треугольниках ADC и BDE:

Чтобы найти DE^2, достаточно вычислить BE^2. Но ВЕ — диагональ параллелограмма ABCЕ, т. е. ВЕ^2 = 2а^2 + 2с^2 - b^2. Следовательно,

Применим к треугольнику ADE теорему косинусов:

DE^2 = a₁^2 + a

^2 - 2aa₁ cos x.

Приравнивая два выражения для DЕ^2, найдем cos x. При этом следует иметь в виду, что по определению угла между скрещивающимися прямыми x — острый угол.

Ответ.

3.16. Плоскость ABE (рис. P.3.16) делит тетраэдр на две пирамиды SABE и CABE с общим основанием ABE.

Так как отношение объемов дано, а основание у пирамиды общее, то h₂ : h₁ = 5 : 3, в силу же равенства SD = CD имеем

^sin/_sin = ³/₅, т.е. sin = ³/₅ sin .

Кроме того, так как тетраэдр правильный, углы и образуют угол SDO, косинус которого равен 1. Поэтому

cos cos - sin sin = 1/3 .

Выразив в этом уравнении sin и cos через sin (так как пирамида правильная, углы и острые), получим

где y = sin^2 .

Возведем в квадрат и раскроем скобки; найдем y = ²/₁₁ и вычислим tg :

Поскольку sin^2 = ²⁵/₉ sin^2 = ⁵⁰/₉₉, то аналогично найдем tg .

Ответ. ⁵²/₇, ²/₃.

3.17. Треугольники DAM и DMS (рис. P.3.17) имеют общую высоту, проведенную из вершины D. Поэтому отношение их площадей равно отношению оснований AM и MS.

Из подобия треугольников MSF и ASK следует, что AM : MS = KF : FS.

Отрезки KF и FS выразим через KE. По теореме синусов для треугольника KFE имеем

KF = KE ^sin/_{sin ( + )}.

Так как KS = ^KE/_{2 cos}, то

FS =

KS - KF = ^KE/_{2 cos} - KE ^sin/_{sin ( + )} = KE ^{sin ( - )}/_{2 cos sin ( + )}

(впрочем, это можно установить и непосредственно из треугольника EFS).

Остается найти отношение KF : FS.

Ответ. ^{2 sin cos}/_{sin ( - )}.

3.18. По условию высоты DO пирамиды проходит через точку пересечения высот основания. Поэтому, соединив точку О с вершиной С и продолжив до пересечения с AB, получим отрезок СЕ, являющийся высотой треугольника ABC, опущенной на сторону AB (рис. P.3.18).

Прямая AB перпендикулярна к DO и EC, следовательно, прямые AB и CD тоже перпендикулярны друг другу. Таким образом, прямая CD перпендикулярна к двум прямым BD и AB плоскости ABD, а потому перпендикулярна к прямой AD. Мы доказали, что угол ADC прямой. Аналогично доказывается, что прямые BD и AD тоже перпендикулярны.

Теперь нетрудно ответить на вопрос задачи: площадь треугольника ADB равна 1/2 b · AD, а площадь треугольника ADC равна 1/2 с · AD. Отношение площадей равно отношению неравных катетов.

Ответ.^b/_c.

3.19. Объем пирамиды SABC (рис. P.3.19) равен удвоенному объему пирамиды с основанием DSC и высотой AD.

Так как AD = ^a/₂, то этот объем равен ^Sa/₆, а объем всей пирамиды равен ^Sa/₃, где через S обозначена площадь SDC.