Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ответ. ¼.

24.4. Запишем данное выражение в виде (x + y + 1)² + (x − 2)² − 3. Оно будет иметь наименьшее значение, если одновременно x − 2 = 0 и x + y + 1 = 0.

Ответ. −3 при x = 2.

24.5. Точки ±1 и ±2 разбивают числовую ось на пять интервалов, в каждом из которых нетрудно найти наименьшее значение y.

1. Если x ≤ −2, то y = x² − 1 + x² − 4 − x − 2 − x − 1 = 2x² − 2x − 8.

Абсцисса вершины параболы y = 2x² − 2x − 8 равна x = −^b/_2a = ½,

т. е. при x ≤ 2 мы находимся левее вершины, функция y на этом участке убывает, а потому наименьшее значение она принимает в самой правой точке интервала: x = −2, y = 4.

2. Если[23] −2 ≤ x ≤ −1, то легко проверить, что y = 4.

3. Если −1 ≤ x ≤ 1, то y = −2x² + 2x + 8.

Так как ветви параболы направлены вниз, то наименьшее значение нужно искать на концах интервала: при x = −1 мы уже видели, что y = 4; при x = 1, y = 8.

4. Если 1 ≤ x ≤ 2, то y = 2x + 6. Наименьшим будет значение в точке x = 1.

5. Если x ≥ 2, то y = 2x² + 2x − 2.

Абсцисса вершины этой параболы x = −½; она лежит левее точки x = 2. Следовательно, наименьшее значение достигается при x = 2, т. е. y = 10.

Ответ.y_min = 4 при −2 ≤ x ≤ −1.

24.6. Заменим ^a/_x на сумму из семи одинаковых слагаемых, каждое из которых равно ^a/_7x. К функции

x⁷ + ^a/_7x + ^a/_7x + ^a/_7x + ^a/_7x + ^a/_7x + ^a/_7x + ^a/_7x

применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим  Равенство достигается при  

Ответ.

24.7. Если ввести углы x и y (рис. P.24.7), то по теореме синусов AB + BC + 2R(sin x +  sin y) = 4R sin [^{π − α}/₂] cos [^x − y/₂].

Наибольшее значение этого выражения достигается при cos [^{x − y}/₂] = 1, т. е. при x

− y = 0. Так как x + y = π − α, то x = ^π/₂ − ^α/₂. Следовательно,

AB = ВС = 2R sin x = 2R cos ^α/₂.

Ответ. 2R cos ^α/₂.

24 . 8 . Если катеты основания обозначить через а и b, то боковая поверхность призмы равна

Нам известна площадь основания. Поэтому аb = 4. Преобразуем выражение для боковой поверхности так, чтобы участвовали только аb и а + b:

Мы получили монотонную функцию от а + b. Ее наименьшее значение достигается одновременно с наименьшим значением а + b. Поскольку а + b ≥ 2√ab = 4, то равенство достигается, если а = b = 2.

Ответ. 2.

24.9. Так как правильный шестиугольник и квадрат — фигуры центрально−симметричные, то центр вписанного в шестиугольник квадрата должен совпадать с центром шестиугольника. Пусть K (рис. P.24.9) — одна из вершин квадрата, а M — центрально−симметричная ей точка многоугольника.

Обозначим через α угол AOK. Тогда  По теореме синусов 

Чтобы задача имела решение, должно быть OQ ≥ OK, т. е. sin (30° + α) ≤ sin α. Так как угол а больше угла BOA, то α ≥ 60°. Кроме того, можно считать, что α ≤ 90°, т. е. 60° ≤ α ≤ 90°. Чтобы для этих углов выполнялось условие

sin (30° + α) ≤ sin α,

необходимо и достаточно, чтобы 75° ≤ α ≤ 90°. Из формулы для KO видно, что с увеличением α диагональ квадрата уменьшается. Следовательно, α нужно выбрать минимальным из возможных, т. е. α = 75°. Тогда , а сторона квадрата равна KO √2.

Ответ.

24.10. Обозначим данную дробь через y. Поскольку дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, меньше нуля, уравнения

равносильны. Чтобы x было действительным числом, необходимо и достаточно выполнение условия (3 − 4у)² − 4у(6у − 2) ≥ 0, т. е. 8у² + 16у − 9 ≤ 0. Ему удовлетворяют значения y, для которых −1 − ^√34/₄ ≤ y ≤ −1 + ^√34/₄. Правый конец интервала и будет наибольшим значением дроби.

Ответ. ^√34/₄ − 1.

24.11. Пусть а, b, с — ребра параллелепипеда. Тогда ограничения, указанные в условии задачи, запишутся в виде системы трех соотношений:

аbс = 7,2, аb + ас + bс ≤ 12, а + b ≥ 5.

Преобразуем второе соотношение, приняв во внимание, что а + b ≥ 5:

аb + ас + bс = аb + с(а + b) ≥ аb + 5с,

т. е. аb + 5с ≤ 12. Перепишем теперь первое соотношение в виде аb · 5с = 36. Чтобы решить систему неравенства и уравнения, отыщем точки пересечения прямой x + y = 12 с гиперболой xy = 36, где x = аb, y = 5с

. Решая эту систему, найдем единственную точку x = y = 6. Отсюда легко следует, что системе, записанной вначале, отвечают лишь числа с = ⁶/₅, аb = 6. Подставив эти значения во второе соотношение, получим а + b ≤ 5. Поскольку одновременно а + b ≥ 5 (третье соотношение), то а + b = 5 наряду с условием аb = 6.

Ответ. 2, 3, ⁶/₅.

24.12. Преобразуем данную функцию следующим образом:

Второе слагаемое достигает своего наименьшего значения, когда его знаменатель максимален. Поскольку

|sin (α + x) sin (α − x)| = ½|cos 2x − cos 2α|,

то наибольшее значение этого выражения достигается при cos 2x = −1, если cos 2α ≥ 0, 0 < α ≤ ^π/₄, и при cos 2x = 1, если cos 2α < 0, ^π/₄ < α < ^π/₂.

В первом случае x = ^π(2k + 1)/₂, во втором x = πk. И в том и в другом случае первое слагаемое выражения (1) обращается в нуль. Следовательно, при 0 < α ≤ ^π/₄ наибольшее значение функции равно 2 tg² α, а при ^π/₄ < α < ^π/₂ равно 2 ctg² α.

Ответ. 2 tg² α при 0 < α ≤ ^π/₄, 2 ctg² α при ^π/₄ < α < ^π/₂·

24.13. Введем обозначения: arcsin x = α, arccos x = β. Поскольку α + β = ^π/₂, то