Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Так как сумма α + β лежит в интервале [0, π], который является интервалом монотонности косинуса, то имеется взаимно однозначное соответствие между α + β и cos (α + β) при условии, что 0 ≤ x ≤ 1. Так как

то α + β = ^π/₂.

Ответ.^π/₂ при 0 ≤ x ≤ 1.

22.5. Оценим φ = π(x² + x − 3), если 0 ≤ x ≤ ^{√3 − 1}/₂.

Имеем

Следовательно,

где 0 ≤ ^3π/₂ − 4π − φ ≤ ^π/₂. Окончательно получаем

arccos sin φ = π − ^3π/₂ + 4π + φ = ^7π/₂ + φ.

Ответ.^7π/₂ + π(x² + x − 3).

22.6. При 0 ≤ x ≤ 1 оба арксинуса существуют. Для первого это очевидно, а для второго имеем

Следовательно,

и, тем более,

Введем обозначение

arcsin x = α, sin α = x, 0 ≤ α ≤ ^π/₂;

Нужно доказать, что α − β = ^π/₄, или α − ^π/₄

= β. Так как −^π/₄ ≤ α − ^π/₄ ≤ ^π/₄, то α − ^π/₄ и β лежат в интервале монотонности синуса. Поэтому, если мы докажем, что синусы этих аргументов равны, то тем самым будет доказано и равенство самих аргументов. Поскольку

(перед корнем взят знак плюс, так как cos α ≥ 0 при 0 ≤ α ≤ ^π/₂).

Итак, доказано, что sin (α − ^π/₄) = sin β, откуда следует справедливость нашего равенства.

22.7. Так как x < −1, то −1 < ^2x/_{1 + x}² < 0. Введем обозначения

Следовательно,

−^3π/₂ < α + 2β < −^π/₂,

т. е. данное выражение лежит в интервале монотонности синуса. Найдем

После подстановки получим

т. е. α + 2β = −π.

Ответ. −π.

22.8. Из уравнения следует, что

arcsin x = ^π/₁₂ + ⁿπ/₃.

Поскольку −^π/₂ ≤ arcsin x ≤ ^π/₂, то возможны лишь три значения n = 0, −1, 1.

Если n = 0, то arcsin x = ^π/₁₂

,

Если n = −1, то arcsin x = −^π/₄,

x₂ = sin (−^π/₄) = −¹/_√2.

Если n = 1, то arcsin x = ^5π/₁₂,

Ответ.

22.9. Если x — корень данного уравнения, то и −x будет его корнем. Поэтому достаточно найти лишь неотрицательные корни. Если x ≥ 0, то

Перенеся α в правую часть уравнения, получим β = γ − α, причем 0 ≤ β ≤ ^π/₂ и −^π/₂ ≤ γ − α ≤ ^π/₂. Поскольку обе части уравнения находятся в интервале монотонности синуса, то данное уравнение равносильно такому:

sin β = sin (γ − α).

Последнее уравнение можно записать в виде

добавив к нему условие |^4x/₅| ≤ 1, являющееся в данном случае следствием уравнения. Получаем x₁ = 0.

Остается  а после возведения в квадрат

Делаем проверку иррационального уравнения.

Ответ. ±1, 0.

22.10. Из условия следует, что x > 0. В таком случае

Уравнение примет вид α + β = ^π/₃, и обе его части окажутся в интервале (0, π], который является интервалом монотонности косинуса. Следовательно, уравнение

cos (α + β) = cos ^π/₃

равносильно данному. Раскрывая скобки и заменяя тригонометрические функции α и β их выражениями через x, придем к уравнению

После возведения в квадрат получим

4(1 − 4x²)(1 − x²) = (4x² + 1)².

При переходе к последнему уравнению могут появиться посторонние корни из−за того, что обе левые скобки могут стать отрицательными. Чтобы избежать этого, добавим условие |2x| ≤ 1.

Уравнение 28х² − 3 = 0, к которому сводится последнее, имеет корни  Из них следует выбрать первый, так как он положителен и так как

Ответ.

22.11. Обозначим

arctg (2 + cos x) = α, arctg (2 cos² ^x/₂) = β.

Так как 2 + cos x > 0 и 2 cos² ^x/₂ > 0, то 0 < α < ^π/₂ и 0 ≤ β < ^π/₂.

Уравнение принимает вид α − β = ^π/₄, причем

−^π/₂ < α − β < ^π/₂ и −^π/₂ < ^π/₄ < ^π/₂.

Так как (−^π/₂, ^π/₂) — интервал монотонности тангенса, то уравнение α − β = ^π/₄ равносильно уравнению tg (α − β) = tg ^π/₄

.

Переходя к уравнению

мы можем потерять те корни, для которых tg α или tg β не существует. В нашем случае этого не произойдет, поскольку

tg α = 2 + cos x, tg β = 2 cos² ^x/₂,

а правые части существуют всегда. Получаем уравнение

которое после преобразований принимает вид

2 cos^{4 x}/₂ + cos² ^x/₂ = 0.

Так как уравнение 2 cos² x + 1 = 0 не имеет решений, то остается cos x = 0.

Ответ. π(2n + 1).

22.12. Пусть

Так как −^π/₂ < α − β ≤ ^π/₂, то обе части уравнения лежат в интервале монотонности синуса. Поэтому уравнение равносильно такому:

sin (α − β) = sin γ

или

После упрощений получим уравнение

имеющее единственный корень x = ⅔. Делаем проверку и убеждаемся, что x = ⅔ является корнем предыдущего уравнения и, следовательно, корнем исходного уравнения.

Ответ. ⅔.

22.13. Введем обозначения

Наше уравнение принимает вид α + β + γ = δ или α + β = δ − γ. Обе части уравнения лежат в интервале (−π, π). Если мы возьмем котангенсы от обеих частей уравнения, то можем потерять лишь корень, которому соответствует значение углов, равное 0, так как это — единственное значение из интервала (−π, π), в котором котангенс не существует. Проверим, будет ли выполняться равенство α + β = δ − γ = 0. Если α + β = 0, то arctg (1 − x) = arctg x, откуда 1 − x = x и x = ½. При x = 1 получим, что δ − γ = arctg ³/₂ − arctg ³/₂ = 0. Таким образом, x₁ = ½ — корень уравнения. Если α + β ≠ 0, то от обеих частей уравнения можно взять котангенсы:

ctg (α + β) = ctg (δ − γ),

что приведет к следствию исходного уравнения. Раскрыв скобки и подставив выражения тригонометрических функций α, β, γ и δ через x, получим уравнение

которое равносильно системе