Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Плоскость DCFE разобьет пирамиду АВСD на две равные пирамиды с общим основанием, площадь которого легко вычислить, и высотой, которую можно найти из прямоугольника AFBE.

3.29. Если вы правильно воспользовались первым указанием, то получите рис. II.3.29.

Пусть MN — проекция CD на плоскость P. Тогда СN = DM = 6, MN и AB образуют искомый угол α. Применение метода сравнения объемов для тела АNВMСD позволяет получить уравнение относительно sin α.

3.30. Если ввести в рассмотрение высоту H призмы и сторону a ее основания, то из правильного треугольника В₁А₁С₁ мы легко выразим a через R, а с помощью треугольника DА₁Е выразим и H через R. (!!)

Для треугольника DА₁E применить метод сравнения площадей.

3.31. Рассмотреть треугольник, образованный высотой тетраэдра, одним из боковых ребер и проекцией этого ребра на плоскость основания, а также подобный ему треугольник, в котором участвует искомый радиус.

3.32. Из всех подобных кубов с центром в точке О удобно выбрать тот, вершина которого, противоположная точке О, лежит на грани параллелепипеда.

3.33. Пусть разность между углами А и С равна φ, а ВD — биссектриса угла В (рис. II.3.33). Легко показать, что α = ^π/₂ + ^φ/₂. Затем удобно представить площадь треугольника АВС как сумму площадей треугольников АDВ и

ВDС.

3.34. Расстояние между диагоналями С₁D и В₁С (рисунок сделайте сами) равно расстоянию между плоскостями А₁C₁D и АВ₁С.

3.35. Основание перпендикуляра, опущенного из точки K на диагональ куба, обозначим через О₁. Для треугольника OKO₁ можно воспользоваться свойством отрезков, на которые биссектриса делит сторону основания.

3.36. Перемещая взаимно перпендикулярные плоскости параллельно самим себе, мы не изменим проекции четырехугольника. Поэтому разместим одну из плоскостей так, чтобы она проходила через вершину четырехугольника (рис. II.3.36; эта вершина обозначена буквой А). Чтобы построить прямую, по которой пересекаются плоскости АВСD и АВ₁С₁D₁, найдем точку E, в которой пересекаются BC и В₁С₁. Теперь можно измерить угол между плоскостями АВСD и АВ₁С₁D₁, построив ВF ⊥ ЕА и соединив В₁

с F. Угол ВFВ₁ равен 45°.

3.38. Найти связь между радиусами шаров и величинами H, ρ и p можно, рассмотрев осевое сечение конуса.

3.39. Если рассмотреть осевое сечение обоих конусов, то задача станет плоской. Чтобы связать радиусы оснований конусов, в качестве вспомогательной величины удобно выбрать радиус сферы.

3.40. Сделав аналогичные построения для второй сферы, можно будет заключить, что, во-первых, треугольник О₁ВО₂ равнобедренный и, во-вторых, SB — высота пирамиды, объем которой мы ищем. (!!)

Так как BC (постройте этот отрезок на рис. I.3.40) (см. с. 129) — сторона основания правильной пирамиды, то можно доказать, что отрезок прямой EO₁ является в треугольнике BEC одновременно медианой и биссектрисой. Это может оказаться полезным при вычислениях.

3.41. В осевом сечении, проходящем через О₁ и О₃, получим картину, изображенную на рис. II.3.41. Все стороны треугольника О₁О₃О₅ нам известны (О₁О₃ легко найти из рис. I.3.41) (см. с. 129). Остается определить SD и AD.

3.42. Треугольники ASD и EMK подобны, т. е. углы SAD и MEK равны. Котангенс угла SAD нам известен, так как AD = a, SD = h. (!!)

Из треугольника SDC можно найти радиус основания цилиндра, а затем из треугольника EMK определить

EK.

3.43. Рассмотреть подобные треугольники SOA и SO₁B, где О₁ — центр куба, а B — одна из вершин диагонального сечения куба, параллельного плоскости основания конуса. Это позволит найти одно соотношение между ребром куба а, высотой конуса H и радиусом его основания R (рис. II.3.43). (!!)

Второе соотношение между H, R и а можно будет найти, рассмотрев вторую пару подобных треугольников: SO₁B и SO₂C. Здесь О₂ — середина верхнего ребра куба, а C — одна из вершин этого ребра. Имея в распоряжении два уравнения, можно выразить R и H через а и тем самым решить задачу.

3.44. В предыдущих рассуждениях не использовано условие, согласно которому три стороны трапеции, являющейся боковой гранью пирамиды, равны b. С помощью этого условия можно найти другое выражение площади боковой грани через а и b и приравнять первому. (!!)

Решить полученное однородное уравнение относительно ^а/_b . Остается связать величину b с радиусом вписанного шара. Для этого достаточно рассмотреть треугольник, получающийся при проецировании одной вершины верхнего основания на нижнее.

3.45. Обозначим через О₁ и O₂ центры меньших шаров, через O₃ — центр большего шара, через О — центр шара, радиус которого нужно найти (рис. 11.3.45); Р₁ Р₂, Р

₃, P — соответственно точки касания этих шаров с плоскостью. Радиус искомого шара обозначим через x. Тогда известны длины изображенных на рисунке отрезков: О₁Р₁ = O₂Р₂ = r, O₃Р₃ = R, ОР = x, O₁O₂ = 2r, O₁O₃ = O₂O₃ = R + r, OO₁ = OO₂ = r + x, OO₃ = R + x. Мы считаем очевидным, что x < r. (!!)