Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

1.33. При продолжении боковой стороны трапеции и указанного в условии отрезка до их пересечения получаются подобные треугольники. Это позволяет выписать соответствующую пропорцию и составить из нее производную пропорцию.

1.34. Чтобы использовать условие AN : NB = 1 : 2, можно отметить на рисунке точку пересечения прямой с продолжением одной из сторон квадрата или провести через точку N прямую, параллельную BC.

1.35. Чтобы составить уравнение относительно x, удобно выразить через x отрезок АЕ один раз с помощью квадрата, а другой раз с помощью треугольника.

1.36. Чтобы связать треугольник и трапецию с окружностью, естественно провести радиусы в вершины обеих фигур. K этим радиусам прилегают прямоугольные треугольники. Выясните, какие из них равны. (!!)

Углы NOE и OAD (рис. II.1.36) можно выразить через угол а и убедиться в том, что они равны.

1.38. Выразить через R и n периметры первого и второго многоугольников и сравнить с периметром третьего многоугольника.

1.39. Величину R можно вычислить, построив треугольник, в котором все стороны выражаются через R и известные величины. В качестве такого треугольника удобно выбрать треугольник ОМО₁, где О₁ — центр рассматриваемой в задаче окружности.

1.40. Ввести в рассмотрение угол ADC (обозначить его через φ) и равный ему угол BEC. Найти tg φ.

1.41. Чтобы применить к треугольнику AOO₁ теорему косинусов, придется использовать угол β между хордой AB и диаметром, исходящим из точки А. Косинус и синус этого угла легко выразить через b и r.

1.42. Чтобы использовать условие задачи, нужно соединить центр окружностей с концами и серединами хорд, являющихся сторонами квадрата. При решении следует помнить, что возможны два варианта взаимного расположения квадрата и центра окружностей: либо центр лежит внутри квадрата, либо вне его.

1.43. Чтобы составить уравнение относительно x, рассмотрите треугольник

ОЕС, в котором все стороны можно выразить через R и x.

1.44. Ввести обозначения R, r и x, где x — расстояние между проекциями центров на нижнее основание. Составить уравнения, используя условия задачи и теорему Пифагора.

1.45. Чтобы доказать, что фигуры СQNK и ОQR равновелики, достаточно доказать, что равновелики секторы COQ и KDN. Для этого следует выяснить связь между радиусами большей и меньшей окружностей.

1.46. Пусть K — проекция точки O на AB. Отрезок OK можно вычислить двумя способами: из треугольника OAK и из треугольника OKP₁.

1.47. Так как хорды пересекаются внутри окружности, то естественно воспользоваться равенством произведений отрезков, на которые каждая хорда делится точкой пересечения.

1.48. Чтобы связать x и R, а именно это требуется в условии задачи, нужно опустить из центра О₂ перпендикуляры O₂D и О₂С на радиусы OA и ОВ соответственно.

Рассмотреть треугольник О₂СО

₁. Выразить О₂С через x и R, используя тот факт, что угол ОАВ = 45°.

1.49. Угол АМС равен π − 2φ. Если МВ = МС = рx, то AC можно выразить из треугольников АМС и АВС. Приравняв эти выражения, получим уравнение относительно x.

1.50. Если стороны треугольника а, а − d, а + d, то его полупериметр p = ^3a/₂ . Из формулы Герона получим уравнение относительно а:

Это уравнение нужно решить относительно а. Подберите удобную замену переменной.

1.51. Пусть PP₁ — средняя линия треугольника АВС, а QQ₁ — средняя линия треугольника PBP₁ Пусть далее P

₁ — точка пересечения PP₁ и BR, а Q₂ — точка пересечения QQ₁ с BR. Убедитесь в подобии треугольников Р₂TP и Q₂TQ.

1.52. Рассмотрите треугольники с общей вершиной, опирающейся на отрезки, которые участвуют либо в условии задачи, либо в искомом соотношении.

1.53.MN — хорда второй окружности, ее центральный угол МО₂N равен 150°, что следует из рассмотрения первой окружности.

1.54. Так как α + β + γ+ δ = 180°, то площадь S четырехугольника АВСD равна

S = ½ab sin (γ + δ) + ½cd sin (α + β) = ½ sin (α + β) (ab + cd).

Далее воспользоваться теоремой синусов, в силу которой а = 2R sin α, b = 2R sin β , ... .

K главе 2

2.1. Осуществить параллельный перенос отрезка DC в точку В.

2.2.

Сколько решений имеет задача?

2.3. Точки А и А₁ лежат на прямой, параллельной BC и отстоящей от BC на расстоянии h_а. Нужно найти еще одно свойство любой из этих точек; в этом должен помочь угол φ.

Отразив треугольник СА₁А от оси А₁А, получим треугольник С₁А₁А (рисунок сделайте самостоятельно). Фигура С₁АВА₁ — параллелограмм, у которого вершины С₁ и В фиксированы, углы известны, а две другие вершины нужно построить.

2.4. Зная R и b, можно построить треугольник АОF (рис. II.2.4). Остается использовать медиану m_с. Чтобы это сделать, нужно, после того как построен треугольник АОF, построить середину отрезка AB.

2.5. Докажите, что точка Q лежит на окружности, описанной около треугольника АВС. Для этого достаточно вычислить угол ВО₁С.