Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

4.2. Площадь сечения удобно вычислять как разность между площадью треугольника AML (см. рис. I.4.2 на с. 131) и удвоенной площадью треугольника KGL.

4.3. Построение сечения показано на рис. II.4.3. Обратите внимание на то обстоятельство, что EС₁ = BF.

4.4. Объемы пирамид, о которых шла речь в конце указания I (см. с. 132), нужно выразить через объем данной пирамиды SABCD. Для этого придется найти отношение их высот и оснований. Сделайте отдельный чертеж плоскости, в которой лежит грань SDC.

4.5. Чтобы сравнить объемы фигур, на которые разбивается сечением вторая половина данной пирамиды, удобно в качестве основания выбрать грань BSC.

4.6. Если продолжить ребра А₁D₁ и А₁B₁ до пересечения с QR и QP соответственно, то можно будет построить след сечения в плоскости верхнего основания куба.

4.7. Обозначить сторону основания через а и выразить площадь сечения через а и высоту боковой грани.

4.8. Нужно доказать, что точка D лежит на отрезке KM (см. рис. I.4.8 на с. 132). Однако сделать это непосредственно трудно. Удобнее изменить построение: EK — высота пирамиды ЕАВС, D — середина AC. Проведем через

K и D прямую, которая пересечет AB в точке M. Докажем, что ЕМ — высота в треугольнике АВЕ. (!!)

Если мы убедимся в том, что KSOD — параллелограмм, то отрезок KD параллелен СО и, следовательно, перпендикулярен к AB, откуда ЕМ — высота треугольника АВЕ.

4.9. В сечении получается пятиугольник, в котором отрезок, параллельный АС₁, не является высотой, так как основания параллелепипеда — не квадраты. Высоту нужно вычислить, чтобы найти площадь пятиугольника.

4.10. Докажите, что при вращении точки E тень, отбрасываемая верхним основанием куба, перемещается, оставаясь квадратом со стороной 2h. (!!)

Тень при любом положении источника E состоит из двух квадратов АВСD и А₂В₂С₂D₂, стороны которых параллельны, сторона второго вдвое больше стороны первого, а отрезок, соединяющий центры, имеет постоянную длину R. Чтобы построить из этих квадратов тень, нужно соединить соответствующие вершины квадратов и получить выпуклую фигуру. Задача свелась к плоской.

4.11. Если вместо куба, нижнее основание которого образует с плоскостью Π острый угол φ, оставить фигуру А₁В₁

D₁DВС, образованную двумя треугольниками A₁B₁D₁, ВСD и диагональным сечением В₁D₁DB куба, то отбрасываемая на плоскость Π тень не изменится. Остается выразить площадь тени через ребро куба и угол φ.

K главе 5

5.2. В треугольнике АМВ рассмотреть медиану, выразить ее квадрат через стороны треугольника, воспользоваться полученными ранее соотношениями. (!!)

Доказать, что медиана МС равна AB.

5.3. Косинус угла А, участвующий в теореме косинусов, можно определить из треугольника АМО, где О — центр окружности, о которой идет речь в условии задачи. (!!)

Обратное утверждение можно доказывать в такой форме: если AC = 2ВС и 2АМ² + МВ² = АВ², то АО = МО. Здесь тоже естественно воспользоваться теоремой косинусов для треугольника АМВ. Единственное осложнение возникает из-за необходимости выразить cos А через линейные элементы. Можно поступить иначе: записать теорему косинусов для треугольника

АМО, имеющего с АМВ общий угол А, и исключить cos А.

5.4. Два треугольника АМВ и ВМС, имеющие общую сторону ВМ, равновелики тогда и только тогда, если их высоты, опущенные из вершин А и С на общую сторону ВМ, равны.

Задача свелась к построению прямой, проходящей через точку В и равноудаленной от двух данных точек А и С. (!!)

Существуют две и только две прямые, проходящие через точку В и равноудаленные от точек А и С: одна — параллельная AC, другая проходит через середину AC.

5.5. Если прямые AB и CD пересекаются в точке N, то отрезки AB и CD следует перенести в эту точку, двигая каждый по своей прямой. После этого задача сведется к предыдущей (см. задачу 5.4). (!!)

Если прямые AB и CD параллельны, то отрезки AB и CD удобно расположить так, чтобы их центры лежали на общем перпендикуляре. Этот перпендикуляр остается разделить в отношении CD : AB.

5.6. Пусть MN — отрезок длины l

, E — его середина, а длина отрезка ОО₁ равна а (рис. II.5.6). Если спроецировать точку E на плоскость нижнего основания, то легко вычислить длину отрезка GO, равного отрезку EF. (!!)

Поскольку длина отрезка GO, равного отрезку EF, не зависит от расположения отрезка MN, то точка E лежит на окружности радиуса EF с центром в точке F. Остается установить обратное предположение и вспомнить о том, что отрезок не должен находиться вне куба.

K главе 6

6.1. Воспользоваться тем, что p − 1, p, p + 1 — три последовательных числа, причем p — простое, большее трех.

6.3. Если n = 2k + 1, то аⁿ + bⁿ = (а + b)(аⁿ − 1 − ... + bⁿ − 1).

6.4. Среди этих же чисел будет ¹²⁵/₂ = 62[16], делящихся на 8 = 2³ и т. д.