Силы тяготения внутри обруча, сферы и между двух точек

Вычислим силу притяжения тела массой m = 1, находящегося на удалении Rx от центра сферы радиусом R₀. Каждый бесконечно малый, дифференциальный объём dv сферы массой dM притягивает тело m независимо от других её элементов, составляющих

Рис.2.1. Определение дифференциала площади сферы для нахождения силы притяжения пробного тела внутри сферы

На рисунке видно, что две плоскости, одна из которых – плоскость X0Y, вырезают на сфере "апельсиновую дольку" с углом dμ. На её поверхности, на "кожуре" ещё две плоскости с углом между ними dφ вырезают участок площадью ds. Можно заметить, что все "апельсиновые дольки" равны друг другу и не зависят от собственного угла μ, поэтому мы приняли его равным dμ. Поэтому нам достаточно рассмотреть только одну из них и затем умножить на число этих долек. Число долек определяется в свою очередь от их ширины:

Если взять их ширину бесконечно малой, то число этих долек станет равным бесконечности. Однако их суммарная площадь равна, как видим, полному углу

Напротив, другая сторона дифференциальной площади ds зависит от угла φ дважды – непосредственно, по образующей вдоль дольки и через зависимость ортогональной стороны, образованной углом dμ, зависящей также и от угла φ.

Действительно, как видно на рисунке ширина дольки разная, в зависимости от угла φ. Самая широкая её часть находится в плоскости Z0Y, а вблизи плоскости Z0X ширина дольки сводится к нулю. Зависимость эта от угла φ описывается уравнением R₀sinφdμ. Таким образом, площадь дифференциального участка сферы описывается уравнением

С учетом принятого выше условия равенства всех дифференциальных "апельсиновых долек" это уравнение приобретает вид

Для удобства дальнейших рассуждений рассмотрим другой рисунок, менее перегруженный линиями. Этот рисунок мы использовали при вычислении сил, действующих на объект внутри обруча. В данном случае мы будем помнить, что площадь дифференциального участка описывается новым уравнением (2.1)

Рис.2.2. Определение расстояния между дифференциалом площади сферы и пробного тела внутри сферы

Дифференциал силы притяжения между пробным телом m и этим элементарным, дифференциальным участком сферы равна

Мы принимаем, что масса участка определяется неизменной поверхностной плотностью сферы. Поскольку мы приняли, что сфера имеет нулевую толщину, то вместо объёма сразу же указываем площадь. Дифференциал площади мы уже определили (2.1), теперь определим расстояние между объектом и этим участком сферы. Как видно на рисунке, оно описывается уравнением

На рисунке видим соотношения между элементами

Дифференциальный объем сферы массой dM притягивает единичную массу m, находящуюся на удалении r с силой

Эта дифференциальная сила раскладывается на две составляющие, из которых нас интересует только центральная dF_x, по линии, соединяющей центры сферы и притягиваемого тела. Отношение этих сил равно отношению соответствующих сторон a и r подобного треугольника

Подставляем значение силы и преобразуем

Удобнее представить расстояние объекта m от центра сферы в относительном виде, как долю от радиуса сферы R_x = kR₀, где k=0…1. Уравнение силы приобретает вид

Результирующую силу находим интегрированием. Следует пояснить, почему мы выбрали именно такие пределы интегрирования. Дело в том, что всю сферу мы поделили углом μ на "апельсиновые дольки" и результирующую силу находим именно по силам, создаваемым этими дольками. Но, как легко заметить на рисунках, в этом случае другой угол – φ изменяется в пределах от 0 до π.

После перехода к новым обозначениям, обнаруживаем интересное обстоятельство: сила не зависит от радиуса сферы. Зависит от относительного положения тела m, но от радиуса самой сферы – нет. Фактически это означает, что сила притяжения тела одна и та же, каким бы ни был радиус сферы – 100 метров или 100 световых лет. Однако это кажущаяся странность. Мы задали для сферы поверхностную плотность, а она и определяет общую массу сферы, которая однозначно зависит от радиуса сферы. Хотя в маленькой сфере силы создаются её малой массой, а в большой сфере – большой, расстояния также имеют соответствующие величины, это и ведёт к независимости сил от радиуса сферы.

Рассмотрим два граничных случая: тело m находится в центре сферы k = 0 и на её поверхности k = 1. Первый случай

Результат ожидаемый, в центре сферы тело находится в состоянии невесомости. Второй случай

Это табличный интеграл

Результат также ожидаемый: тело на поверхности сферы обязательно будет испытывать силу притяжения.

Рис.2.3. График изменения силы притяжения внутри сферы пробного тела в зависимости от его удалённости от центра

Результат ожидаемый и объяснимый. Этот же график с логарифмической шкалой

Рис.2.4. Логарифмический график изменения силы притяжения внутри сферы пробного тела в зависимости от его удалённости от центра