Силы тяготения внутри обруча, сферы и между двух точек

Интеграл силы (2.3) мы формировали исходя из положительного направления силы в сторону центра сферы. Интегрирование и графики показали положительное значение силы. Из этого следует вывод: тело в пустой сфере притягивается к её центру так, будто там находится некий массивный объект.

Проблема трактовки притяжения тела внутри сферы

В исходном варианте статья начиналась словами "Известно, что тело внутри полой сферы…". Однако в процессе исследований эта часть фразы была заменена на "Считается, что тело внутри полой сферы…". Эта замена связана с обнаруженным противоречием. В результате наших исследований мы пришли к выводу, что тело внутри полой сферы испытывает силу притяжения со стороны этой сферы, хотя, по мнению других авторов, такой силы нет. Вывод об отсутствии силы притяжения внутри сферы достаточно полно изложен, по меньшей мере, в трёх работах [1, 2, 3]. Понятно, что два взаимно исключающих вывода не могут быть верными одновременно. Один из них ошибочен.

Наши выводы опираются на строгое математическое доказательство. По сути, они – строго доказанная математическая теорема. Следовательно, ошибочным является мнение об отсутствии силу внутри сферы. В чём именно состоит ошибка? Рассмотрим, как получен этот ошибочный вывод на примере работы [3]. Заметим, что, по сути, эту работу можно считать если не перепечаткой, то близкой по тексту к более ранним работам [1, 2].

Рассмотрен шар радиусом R, на поверхности которого находится галактика A. Этот шар с галактикой опоясан шаровым слоем толщиной h. Приводится доказательство того, что на галактику A со стороны этого слоя не оказывается никакого гравитационного действия, притяжения. Другими словами, в однородной Вселенной на эту галактику все другие галактики, вне этого шара не оказывают никакого влияния.

Рассматриваются силы притяжения, действующие на галактику A со стороны галактик, расположенных в этом слое в противоположных от неё направлениях, в объёмах элементов слоя V₁ и V₂. До этого момента рассуждения вполне корректны. Однако уже следующее утверждение является грубой ошибкой. При сравнивании объёмов элементов утверждается, что их угловые площади S₁ и S₂ и, соответственно, объёмы пропорциональны квадратам расстояний от галактики до поверхности слоя –

r₁ и r₂. Приводится рисунок, на который мы сразу же добавили неравенство сил

Рис.2.5. Копия рисунка из работы [3]

и уравнение к нему

Автор допускает, вообще-то, очевидную небрежность, ошибку – это уравнение неверно

. В нём проводится отождествление трёх разных сфер, имеющих радиусы R, r₁ и r₂. Каждая из площадей, дифференциал площадки, бесконечно малый участок на сфере определяется уравнением

где φ и μ – полярные углы сферического сегмента.

Каждый из этих полярных углов имеет вершину в начале своих собственных полярных координат. Только при этом условии площадь на поверхности сферы определена уравнением (2). В рассмотренном случае (1), эти начала полярных координат разные, поэтому, например, для S₁ мы обязаны записать

Считая, что полярные углы φ и μ для всех трёх сфер одинаковы, каждая из площадок, дифференциал площади, например, в (3) это S₁, обозначена с "точки зрения" соответствующих сфер: сферы с радиусом R и началом координат в центре этой сферы, и сферы с радиусом r₁ и началом координат в точке А. Но эти две площадки S₁ и S_1R не тождественны, они не равны друг другу, они не слились воедино. Следовательно, площадка S₁

не принадлежит сферическому слою и, соответственно, не является элементом объёма V₁. Исходному сферическому слою условно принадлежит объём

Условность состоит в том, что это уравнение справедливо для дифференциалов, но не для конечных величин S и V, в случае которых объём V не является прямоугольником – это усечённая пирамида, площадь которой определяется другим уравнением.

3. Притяжение тела к двум точкам

Заметим, что обруч в наших исследованиях фактически является сечением сферы. Сила притяжения в обоих случаях зависит на местоположение пробного тела. В обоих случаях сила равна нулю в центре и имеет некоторое значение вблизи внешнего объекта – обруча или сферы.

Ещё одним вариантом, очевидно, является следующее сечение – сечение обруча. В этом случае объект разделяется надвое, теперь это просто две точки. Сразу же заметим, что и в этом случае сила притяжения тела, находящегося точно посередине между точками, равна нулю. Также можно предположить, что в случае сближения тела с одной из массивных точек сила притяжения будет возрастать до бесконечности. Чтобы избежать этого, нужно как-то связать объём точки с расстоянием до пробного тела. Принимая за положительное направление силы вправо, к правой массивной точке, в общем случае результирующая сила притяжения тела к этим двум точкам равна