Стратегии решения математических задач

Когда вопросы в задаче касаются определенной геометрической фигуры или рисунка, без слов понятно, что построение схем, или визуальное представление, является неотъемлемой частью метода решения. Это необходимо и помогает решить задачу. Довольно трудно представить, чтобы математики в далекие времена оперировали геометрическими понятиями без рисунков или хотя бы демонстрировали свои геометрические расчеты без использования чертежа. Вместе с тем есть множество задач, где условия не предполагают построения чертежа, однако визуализация того, о чем идет речь, намного облегчает поиск решения. Многие люди лучше воспринимают информацию визуально — чтобы понять происходящее, им нужна картина, а не просто слова. Это не домыслы. Визуализация — очень сильный метод, помогающий вникнуть в данную ситуацию.

Например, когда нужно объяснить, как найти чей-то дом, схема направления движения просто неоценима. Рисунок помогает увидеть маршрут в целом. В журналах и газетах постоянно используются графики и другие визуальные инструменты для сравнения или противопоставления ситуаций. Когда вы покупаете что-то и должны собрать это сами, в руководстве производителя помимо письменных инструкций обычно приводятся рисунки. В большинстве видов спорта, особенно в футболе и баскетболе, тренер объясняет стратегию игры, как правило, с помощью диаграмм, или рисунков с крестиками и ноликами. Все это примеры повседневного использования стратегии схематичного изображения, когда напрямую оно не требуется. В конце концов, не зря же говорят, что лучше один раз увидеть, чем 100 раз услышать.

Возьмем для примера математическую задачу, в которой изначально мало кто ожидает использования визуального представления.

У г-на Адамса есть два теста в запасе для выпускного экзамена по алгебре, которые он хочет использовать в двух классах. В каждом тесте 26 разных вопросов. Он берет первые четыре вопроса из теста 1 и добавляет их в конец теста 2. Затем он берет четыре первых вопроса из теста 2 и добавляет их в конец теста 1. В каждом тесте теперь 30 вопросов. Сколько одинаковых вопросов в обоих тестах?

Ситуацию до и после перестановок можно представить схематично, или визуализировать ее:

Теперь видно, что тесты содержат восемь одинаковых вопросов, а именно 1, 2, 3, 4 и A, B, C, D. Хотя в этом случае не обязательно использовать визуальное представление, и задачу можно решить другими методами, создание схемы позволяет увидеть, что происходит. Такой подход облегчает поиск решения. Имейте в виду, когда мы говорим о визуальном представлении, не обязательно подразумевается «вычерчивание» чего-либо.

Вот еще одна задача, где визуальное представление помогает увидеть происходящее.

Длина стороны равностороннего треугольника равна 40 см. Средние точки сторон соединяются так, что образуется второй равносторонний треугольник. Средние точки сторон этого треугольника соединяются так, что образуется третий треугольник. Этот процесс продолжается до тех пор, пока мы не получим пять треугольников. Чему равен периметр пятого треугольника?

Излишне говорить, что в случае решения геометрической задачи — даже такой, которую легко изложить на словах, — построение чертежа очень полезно, а то и просто необходимо. Нам нужно видеть, о чем идет речь (рис. 8.1).

Чертеж должен показывать, что отрезок, соединяющий средние точки двух сторон треугольника, равен половине длины третьей стороны и параллелен ей. Таким образом, каждая сторона любого нашего треугольника равна длины соответствующей стороны предыдущего треугольника. Периметр каждого последующего треугольника равен половине периметра предыдущего треугольника. Для полной ясности составим таблицу, отражающую процесс.

Периметр пятого треугольника равен 7,5 см. Сделанный нами чертеж помог визуализировать ситуацию и решить задачу. Хотя решить ее можно и без рисунка, глядя на чертеж, легче найти ответ.

Чтобы подчеркнуть ценность использования схематичного представления, когда это напрямую не требуется в условиях, рассмотрим такую задачу.