Стратегии решения математических задач

Воспользуемся стратегией организации данных и составим два исчерпывающих перечня путей достижения победы каждым игроком. Первый перечень показывает результаты, когда первый бросок делает Робби, второй — когда первый бросок делает Сэнди.

Существует 10 возможных комбинаций, на которых конкурс завершается. Исчерпывающий перечень комбинаций упорядоченно и наглядно представляет возможности.

Задача 7.2

Сколько треугольников изображено на рис. 7.1?

Обычный подход

Как правило, люди начинают подсчитывать треугольники в том или ином порядке, но без определенной системы. Чаще всего это приводит к путанице и неуверенности в том, все ли треугольники учтены. Другой традиционный подход предполагает использование формальных методов подсчета. В этом случае определяются комбинации, которые могут быть образованы шестью линиями, и исключаются комбинации, образующиеся в результате совпадений. Количество комбинаций из шести линий по три равно ₆C₃ = 20. Из этого результата нужно вычесть три совпадения (по вершинам). Таким образом, в фигуре на рисунке 17 треугольников.

Образцовое решение

Для упрощения задачи преобразуем фигуру, будем постепенно добавлять линии и считать, что получается в результате использования такой формы организации данных. Иначе говоря, мы будем подсчитывать треугольники, образующиеся при добавлении каждой части. Начнем с исходного треугольника ABC. Итак, в начале мы имеем всего один треугольник.

Теперь рассмотрим треугольник ABC с одной внутренней линией AD. У нас получилось два новых треугольника ABD и ADC.

Добавим еще одну внутреннюю линию BE и подсчитаем все новые треугольники, имеющие сторону BE.

Таким же образом добавим линию CF и опять подсчитаем новые треугольники, имеющие сторону CF.

Представим полученные результаты в табличной форме.

Общее количество перечисленных выше треугольников равно 17.

Задача 7.3

Дана последовательность Найдите положительное целое число n, при котором произведение первых n членов последовательности превышает 100 000.

Обычный подход

В этом случае обычно прибегают к методу проб и ошибок и начинают добавлять члены в последовательность и перемножать их до тех пор, пока произведение не превысит 100 000. Такой подход трудоемок, и его точно нельзя назвать изящным.

Образцовое решение

Напишем сначала произведение первых n членов данной последовательности, что в определенном смысле будет организацией и представлением наших данных в более удобной форме:

«Превышает 100 000» означает, что нам нужно число, большее, чем 10⁵, а это происходит, только когда или n

(n + 1) > 110. Когда n ≤ 10, мы получаем n (n + 1) ≤ 110. Таким образом, наименьшее целое значение n, при котором выполняется условие задачи, равно 11.

Задача 7.4

Джером открыл свое первое предприятие по прокату каяков. За прокат он берет почасовую оплату. Каякам присваиваются идентификационные номера, на каждом из них стоят три цифры. Первая цифра — это номер предприятия, а именно 1. Номера у каяков не могут повторяться, а три цифры должны располагаться в возрастающем порядке. Ноль использовать нельзя. Вскоре Джером обнаружил, что использовал все возможные сочетания, которые удовлетворяют условиям. Какое максимальное количество каяков может быть у Джерома?

Обычный подход

Самый распространенный подход — выписывание всех возможных трехзначных чисел, удовлетворяющих условиям задачи. Но как узнать, все ли эти числа учтены? Существует ли метод, обеспечивающий гарантированное решение? Обычный подход явно не самый эффективный!

Образцовое решение

Представим наши данные в табличной форме:

Джером может иметь не более чем 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 каяков.

Задача 7.5

Фермер везет яблоки на рынок. Яблоки уложены в шесть ящиков. Весы на пункте взвешивания могут принять за раз только пять ящиков. Нам дают результаты шести взвешиваний:

Ящик B + ящик C + ящик D + ящик E + ящик F = 200 фунтов;

Ящик A + ящик C + ящик D + ящик E + ящик F = 220 фунтов;

Ящик A + ящик B + ящик D + ящик E + ящик F = 240 фунтов;

Ящик A + ящик B + ящик C + ящик E + ящик F = 260 фунтов;

Ящик A + ящик B + ящик C + ящик D + ящик F = 280 фунтов;

Ящик A + ящик B + ящик C + ящик D + ящик E = 300 фунтов.

Сколько фунтов яблок в каждом ящике?

Обычный подход

Эту задачу можно решить алгебраически, составив шесть уравнений с шестью неизвестными:

B + C + D + E + F = 200;

A + C + D + E + F = 220;

A + B + D + E + F = 240;

A + B + C + E + F = 260;

A + B + C + D + F = 280;

A + B + C + D + E = 300.