Стратегии решения математических задач

Эту задачу можно решить еще одним способом, если посмотреть на нее с другой точки зрения. Известно, что числа 4 и 3 являются взаимно простыми и представляют количество дней в рабочем цикле каждого молодого человека, соответственно. Их общее кратное, 12, дает дни между датами, в которые они работают вместе. Таким образом, 1 + 12 = 13 — это день, когда молодые люди работают вместе после первого дня, а 13 + 12 = 25 — это день, в который они работают вместе в следующий раз.

Задача 8.5

На местной ярмарке несколько работников занимаются отслеживанием количества людей, принимающих участие в конкретных мероприятиях каждый день. Записи Розалинды показывают, что с понедельника до субботы включительно стенд для стрельбы из лука посетили 510 человек. По подсчетам Габиэля с понедельника по среду включительно на этом стенде побывали 392 человека, а Фрэнк насчитал там во вторник и в пятницу 220 человек. Адель работала в среду, четверг и субботу и у нее получилось в сумме 208 человек. Наконец, в записях Альфреда значилось, что с четверга по субботу включительно на стенде побывали 118 человек. Если предположить, что все эти данные правильны, то сколько человек посетили стенд для стрельбы из лука в понедельник?

Обычный подход

Как правило, начинают составлять ряды уравнений, в которых переменные представляют разные дни недели. В результате получается пять уравнений первой степени с шестью неизвестными. Конечно, не все неизвестные встречаются в каждом уравнении.

Решив эту систему уравнений, можно попытаться найти ответ. Однако этот процесс довольно сложен и большинству не под силу. (Мало кто догадывается, что в результате вычитания уравнений 8.3 и 8.4 из уравнения 8.1 получается Пн. = 82.)

Образцовое решение

Визуализируем условия задачи в виде таблицы посещаемости стенда:

Обратите внимание на то, что за исключением понедельника каждый день упоминается три раза. Это приводит к двойному учету посетителей четырьмя последними учетчиками во все дни кроме понедельника. Таким образом, мы получаем одно уравнение:

2 × 510 − (392 + 220 + 208 + 118) = количество посетителей в понедельник; 1020 − 938 = 82.

В понедельник стенд посетили 82 человека.

Задача 8.6

Аманда, Айан, Сара и Эмили выставили своих лягушек для участия в соревнованиях на дальность прыжка на ярмарке. Лягушка Аманды опередила лягушку Эмили, но оказалась не первой. Лягушка Сары проиграла лягушке Аманды, но была не последней. Как распределились места лягушек?

Обычный подход

Чаще всего берут четыре фишки, жетона или монеты, наклеивают на них стикер с именем владельца и переставляют этих «лягушек» до тех пор, пока результат не будет удовлетворять условиям задачи.

Образцовое решение

Эту задачу проще решить с использованием визуального представления. Прежде всего, мы знаем, что лягушка Аманды опередила лягушку Эмили, но была не первой. Обозначим это схематично так:

Лягушка Сары проиграла лягушке Аманды, но была не последней. Продолжив построение схемы, мы получаем следующее распределение мест:

Схема позволила легко увидеть порядок, в котором распределились места.

Задача 8.7

Из 40 мальчиков в оздоровительном лагере «Кэмп-Уолден» 14 участвовали в заплыве на озере, 13 играли в баскетбол, а 16 ходили в поход. Трое мальчиков играли в баскетбол и участвовали в заплыве. Пять мальчиков участвовали в заплыве и ходили в поход. Восьмеро мальчиков играли в баскетбол и ходили в поход, а двое мальчиков участвовали во всех трех спортивных мероприятиях. Сколько мальчиков в этом лагере не участвовали ни в чем?

Обычный подход

Традиционно эту задачу начинают решать путем сложения всех участников спортивных мероприятий с последующим вычитанием повторов. Такая процедура редко бывает успешной.

Образцовое решение

Попробуем применить для решения задачи визуальное представление. Для наглядного отображения данных используем диаграмму Венна (рис. 8.8).

Область наложения всех трех кругов представляет двоих мальчиков, которые участвовали во всех трех спортивных мероприятиях. Круги показывают следующее:

Участвовали в заплыве = 14;

Играли в баскетбол и ходили в поход = 8;

Участвовали в заплыве и играли в баскетбол = 3;

Играли в баскетбол = 13;

Участвовали в заплыве и ходили в поход = 5;

Ходили в поход = 16.

При сложении этих частей диаграммы Венна мы получаем 8 + 3 + 2 + 1 + 4 + 6 + 5 = 29. В лагере было 40 мальчиков, из которых 29 участвовали в спортивных мероприятиях, а 11 нет.

Задача 8.8

Сколько целых чисел, цифры которых расположены в порядке возрастания, находится между 4000 и 5000?

Обычный подход