Стратегии решения математических задач

Составим список всех возможностей (М = мужчина, Ж = женщина):

М — М М — Ж Ж — М Ж — Ж.

В список пошли четыре возможности, однако в нашей задаче первую, М — М, не нужно учитывать, поскольку известно, что как минимум один человек — женщина. У нас остаются три варианта, и лишь в одном из них могут быть две женщины. Таким образом, ответом на поставленный вопрос будет вероятность, равная.

Чтобы еще лучше увидеть ценность такого подхода к решению задач, рассмотрим еще один пример:

В двух залах местного кинотеатра показывают по утрам разные мультфильмы. Утренние сеансы в обоих залах должны заканчиваться к 13:00, когда начинается демонстрация художественных фильмов. В зале A первый сеанс мультфильмов начинается в 9:00, второй в 9:28, а потом через каждые 28 минут. В зале B первый сеанс тоже начинается в 9:00, но потом сеансы повторяются через 35 минут. Джоанн хочет попасть на просмотр мультфильмов в обоих залах. Во сколько два последующих сеанса начинаются одновременно?

Составим исчерпывающий список времени начала сеансов в обоих залах.

Любой последующий сеанс должен был бы начаться уже после 13:00. Мы перечислили все возможности! Где-то в этом списке всех должен находиться ответ. Список показывает лишь одно время, когда начало сеансов в обоих залах совпадает — 11:20.

Такая стратегия очень эффективна, но вы должны убедиться в том, что перечислили все без исключения возможности! Только тщательная организация данных может дать вам полную уверенность. Как и в случае с другими стратегиями, необходимо обдуманно подходить к выбору той, которая подходит в данном случае. Стратегия учета всех возможностей может сделать решение более очевидным.

Задача 9.1

Учитель математики замечает, что его нынешний возраст представляет собой простое число. Он обнаруживает, что в следующий раз его возраст станет простым числом через столько же лет, сколько прошло с той поры, когда возраст был простым числом в прошлый раз. Сколько лет учителю математики?

Обычный подход

У этой задачи не так много альтернативных способов решения. Обычно начинают перебирать числа в надежде «наткнуться на подходящее».

Образцовое решение

Здесь наверняка нам пригодится стратегия учета всех возможностей. Рассмотрим следующий список:

В списке простых чисел от 1 до 100 (хотя в ситуации учителя математики можно было бы ограничиться числами в диапазоне от 20 до 80) только в двух случаях три последовательных простых числа имеют одинаковую разность. Первый случай — 3, 5 и 7 — нам не подходит, поскольку пятилетних учителей математики не бывает. Второй случай — 47, 53 и 59 — укладывается в подходящий возрастной диапазон. Таким образом, учителю математики должно быть 53 года.

Задача 9.2

Найдите количество сочетаний, при которых 20 монет достоинством 5 центов, 10 центов и 25 центов могут составить в сумме $3,10.

Обычный подход

Большинство людей сразу начинают составлять алгебраические уравнения, отражающие информацию из условий задачи. В результате они получают: n + d + q = 20, где n, d и q

— количество 5-, 10- и 25-центовых монет соответственно. Это можно записать, как n = 20 — q — d. Кроме того, 25q + 10d + 5n = 310, что при объединении с предыдущими двумя уравнениями дает: 25q + 10d + 5 (20 — q — d) = 310. Отсюда 4q + d = 42, или После этого остается лишь подставлять разные значения, чтобы выявить наилучший результат.

Образцовое решение

У нас, однако, есть более рациональный метод, а именно учет всех возможных значений d. Прежде всего, мы замечаем, что

q должно быть целым числом, а значит необходимо выделить дробную часть q, т. е. или d = 2–4k. Подставив это в приведенное выше уравнение, мы получаем q = 10 + k, а n = 20 — q — d = 20 — (10 + k) — (2–4k), или n = 8 + 3k.

Поскольку d = 2–4k

, значение k может быть либо нулевым, либо отрицательным.

В таблице ниже приведены возможные значения k и вытекающие из него значения d, q и n.

При k = 0, –1, –2 мы получаем реальные варианты. Когда же k = –3, d = 2–4(–3) = 14, а n = 8 + 3(–3) = –1, что не имеет смысла в этой задаче. Таким образом, количество сочетаний, при которых сумма составляет $3,10, равно трем.

Задача 9.3

Для доставки консервов из тунца компания может использовать небольшие коробки, в которые входит восемь банок, и коробки побольше, вмещающие 10 банок. С целью экономии компания старается чаще использовать большие коробки. Если заказ составляет 96 банок, то как лучше упаковать его для отправки?

Обычный подход