Стратегии решения математических задач

Вместе с тем в приведенном выше решении учтены не все возможности. Мы видим три грани из шести. Поскольку нам видны номера 48, 49 и 52, значит обязательно должны быть 50 и 51. Шестой номер, однако, может находиться на любом конце последовательности. Таким образом, существуют два варианта шестого номера — 47 или 53. Это дает две возможные суммы — 297 и 303.

Глава 10

Обоснованное предположение и проверка

Конечно, даже мысль о том, что в качестве стратегии решения задач можно использовать догадки, вызывает недоумение. В самом деле, может ли кто из нас вспомнить, чтобы учитель говорил кому-то, давшему нестандартный ответ: «Ты это знаешь или просто строишь догадки?» В некоторых книгах выдвижение предположений и их проверку называют методом «проб и ошибок», и это воспринимается более негативно. Добавление определения обоснованное в название метода должно успокоить вас и уверить в том, что это действительно эффективная и нередко очень полезная стратегия.

Мы пользуемся стратегией «предположение-и-проверка» на протяжении всей своей жизни. Например, на кухне мы делаем предположение о том, готово ли мясо в духовке, а потом с помощью специального термометра проверяем, правильно ли оно. Если нет, то мясо опять отправляется в духовку, а процесс «предположение-проверка» повторяется через некоторое время. Пытаясь найти конкретное место во время поездки на автомобиле, мы «предполагаем», что оно находится на определенной улице. Если его там нет, то мы делаем другое предположение на основе информации, полученной в результате первой попытки.

При решении задач, когда слишком много неопределенностей, мы можем использовать эту стратегию для уменьшения неопределенности с помощью конкретных предположений. Проверяя предположения, мы получаем информацию для уточнения следующего предположения и приближаемся к отысканию ответа.

Чтобы помогать решению задач, предположения должны быть неслучайными и не взятыми с потолка без очевидного основания. После изучения условий задачи определяется возможный подход к решению и выдвигается предположение. Затем предположение проверяется на основе условий задачи. Если это не приводит к получению ответа, то выдвигается следующее предположение с учетом информации, полученной на предыдущем этапе. Новое предположение опять проверяется. Процесс уточнения предположений продолжается до тех пор, пока не будет накоплена информация, достаточная для решения задачи. Например, предположим, что нас просят найти следующие два члена последовательности 2, 0, 4, 3, 6, 7, 8, 12, 10, 18, ____, ____. Что мы видим? Возможно, члены последовательности возрастают и уменьшаются случайным образом. Не исключено, что здесь смешаны две последовательности. Это выглядит как обоснованное предположение. Попробуем проверить его!

Похоже, что наше предположение правильно — здесь действительно две последовательности. Последовательность 1 состоит из четных чисел. Следующим ее членом будет 12. В последовательности 2 разность между последовательными членами возрастает каждый раз на 1, т. е. разности равны 3, 4, 5, 6 и т. д. Следующий ее член должен быть равен 25. Таким образом, мы получаем ответ: следующие два члена — это 12 и 25. Обратите внимание на то, что здесь использовалась также стратегия выявления закономерности. В применении нескольких стратегий для решения задачи нет ничего необычного.

Обратите внимание также, что предположения берутся не с потолка. Все они основываются на тщательном анализе того, что дано, и того, что требуется найти. Предположения делаются с умом! Не забывайте, что эту стратегию не случайно называют «обоснованным предположением и проверкой».

Рассмотрим еще один пример использования этой стратегии.

Местная фирма должна выполнить заказ на поставку полых и сплошных резиновых шаров. Полый шар весит одну унцию, а сплошной — две унции. И те и другие шары имеют одинаковый размер. В коробку вмещается 50 шаров. Самый выгодный транспортный тариф установлен для коробок весом 80 унций. Сколько шаров того и другого вида нужно положить в коробку, чтобы получить этот вес?

Вместо привычного составления уравнений попробуем воспользоваться стратегией выдвижения обоснованного предположения и его проверки. Для отслеживания наших предположений составим таблицу. Начнем с середины — с 25 шаров каждого вида.

В коробку следует положить 30 сплошных шаров и 20 полых. Если попробовать все сочетания подряд, то они все равно приведут к правильному ответу. Выдвижение обоснованных предположений позволяет сократить количество попыток.