Стратегии решения математических задач

Рассмотрим еще одну задачу, решение которой сильно выигрывает от применения нашей стратегии.

Игра в дротики очень популярна во многих странах. Памела сделала несколько бросков в мишень, секции которой обозначены как 2, 3, 5, 11 и 13. Если ее счет составил 150, то какое наименьшее количество дротиков она могла бросить?

Поскольку нужно найти минимальное количество дротиков, секций с высокими значениями должно быть как можно больше. Сделаем несколько предположений и представим результаты в табличной форме.

Наименьшее количество дротиков, которые могли потребоваться Памеле, равно 12. Обратите внимание на то, что мы опять использовали стратегию организации данных для отслеживания результатов оценки предположений. Табличное представление данных нередко очень облегчает анализ полученной информации.

Задача 10.1

На местной ферме выращивают голубику, кусты которой высажены так, что они образуют решетку с квадратными ячейками, а количество рядов равно количеству колонок. Фермер решил увеличить размеры поля на одинаковое количество рядов и колонок. Новое поле вмещает на 211 кустов больше, чем старое. Сколько кустов было в одном ряду на старом поле?

Обычный подход

Обычно начинают с составления уравнений. Возьмем за x количество рядов и колонок. Тогда первоначальное количество кустов равно x × x, или x²

. Обозначим дополнительные кусты в каждом ряду и колонке как b, тогда новое количество кустов будет равно (x + b)². Теперь у нас есть уравнение:

x² + 211 = (x + b)²;

x² + 211 = x² + 2bx

+ b²;

211 = b² + 2bx.

Здесь возникает проблема. Мы получили квадратное уравнение с неизвестной b, в котором есть еще одна неизвестная x. Что с ним делать? Возможно стоит подставить какие-нибудь значения вместо неизвестных и посмотреть, не удастся ли решить уравнение. Хотя такой подход и может дать правильный ответ, он не слишком эффективен.

Образцовое решение

Попробуем пойти путем выдвижения предположений и их проверки. Мы видим, что 211 — это простое число, а x и b должны быть целыми числами. Если разложить на множители приведенное выше уравнение, то мы получим:

211 = b (b + 2x).

Поскольку 211 — это простое число, у него только два множителя: 211 и 1. Таким образом, b

должно быть равным 1, а (b + 2x) — 211. В результате мы получаем 2x = 210, а x = 105. В одном ряду на старом поле было 105 кустов.

Задача 10.2

Джек хочет огородить прямоугольный участок, отведенный под огород. У него есть готовая ограда длиной 20 м. Какие размеры должен иметь участок, чтобы огороженная площадь была наибольшей?

Обычный подход

Наиболее очевиден алгебраический подход. Можно составить уравнения, а потом решить их. Обозначим длину, как x, а ширину, как y. Тогда мы получим:

2x + 2y = 20, или x + y = 10.

При составлении второго уравнения возникает проблема — как представить максимальную

площадь? Иначе говоря, нам нужно получить xy = максимум. Что здесь можно сделать? Посмотрим, можно ли найти другой подход.

Образцовое решение

Первая же прикидка показывает, что, например, длина 8 и ширина 2 «подходят». Однако точно так же подходят и другие пары чисел. Воспользуемся стратегией обоснованного предположения и проверки, чтобы понять, какие размеры дают наибольшую площадь. Будем вести учет предположений в табличной форме. Поскольку для определения площади нужно умножить одну длину на одну ширину, ограничимся половиной периметра, равной 10. Начнем с наибольшей возможной длины.

Похоже, что прямоугольник размером 5 × 5 (квадрат) имеет наибольшую площадь. А что, если попробовать дробные размеры? В условиях задачи не говорится, что они должны быть целыми. Добавим в нашу таблицу дробные значения и посмотрим, что произойдет.

Все равно получается, что прямоугольник с периметром 20 м имеет наибольшую площадь при размерах 5 × 5 (квадрат). Некоторые и без этого знают, что при заданном периметре прямоугольника наибольшую площадь всегда имеет квадрат. А раз так, то ответ получается совсем быстро — это квадрат с периметром 20, площадь которого равна 5 × 5 = 25 м².

Задача 10.3

Найдите наименьшее простое число, превышающее 510. (Напомним, что простым называют такое число, которое делится только на 1 и на само себя.)

Обычный подход

Поскольку в задаче требуется найти наименьшее простое число, превышающее 510, мы будем, начиная с 511, брать число и пробовать разные делители в порядке возрастания вплоть до его половины. Если ни один из этих возможных делителей не подойдет, значит мы нашли простое число.

Образцовое решение