Стратегии решения математических задач

Тренер футбольной команды разрешает игрокам самостоятельно выбрать номер, под которым они выйдут на поле. Макс и Сэм, которые не только играют в футбол, но и входят в состав математической команды, останавливаются на особой паре номеров. Когда их номера возводят в квадрат, они дают двузначные числа. Когда два футболиста стоят рядом, образующееся из этих квадратов четырехзначное число также является квадратом простого числа. Какие номера они выбрали?

Обычный подход

Большинство людей берут числа 1, 2, 3, 4, 5, … и возводят их в квадрат, пытаясь найти те, которые дают двузначный квадрат. Затем они помещают эти квадраты рядом друг с другом и смотрят, какие из них образуют квадрат простого числа. Такое гадание нельзя назвать продуктивным.

Образцовое решение

Призовем на помощь нашу стратегию обоснованного предположения и проверки. Прежде всего, можно ограничить количество чисел, из которых делается выбор. При возведении в квадрат двузначное число дают числа от 4 до 9, поскольку квадраты 1, 2 и 3 — это однозначные числа, а квадраты 10, 11, …, 31 — трехзначные числа. Таким образом, мы можем выбирать из следующих квадратов: 16, 25, 36, 49, 64, 81. Начиная с 16 проверим, пара каких квадратов образует при размещении рядом квадрат простого числа. Обратите внимание, если мы оцениваем 1625 (это не квадрат простого числа), то нам нужно оценить и 2516 (тоже не квадрат простого числа). Чтобы выдвинуть обоснованное предположение, нужно в пару к 16 поставить оставшиеся двузначные числа. Если взять пару 16 и 81, то мы получим число 1681, равное 41². Макс и Сэм выбрали в качестве своих номеров числа 4 и 9.

Обратите внимание на то, что числа 3 и 4 тоже работают, так как 3² = 9, а 4² = 16. При размещении рядом друг с другом эти квадраты дают число 169, которое является квадратом простого числа. Однако в условиях задачи говорится о четырехзначном числе, так что этот ответ исключается.

Задача 10.8

Лайза получила на неделю задание решить 26 арифметических задач. Чтобы заинтересовать ее, отец обещал выдавать ей по 8 центов за правильно решенные задачи и вычитать по 5 центов за неправильно решенные. После выполнения задания Лайза обнаружила, что отец не должен ей ничего, но и она ничего не должна. Сколько задач Лайза решила правильно?

Обычный подход

Эту задачу позволяет решить обычный алгебраический подход.

Пусть x обозначает количество правильно решенных задач, а y — количество неправильно решенных задач.

Тогда:

8x

— 5y = 0;

x + y = 26.

Из первого уравнения получаем, что 8x = 5y и

Подстановка значения x во второе уравнение дает:

Лайза решила правильно 10 задач и неправильно 16 задач.

Образцовое решение

Те, кто не умеет решать системы из двух уравнений с двумя неизвестными, могут попробовать найти ответ с помощью стратегии обоснованного предположения и проверки. Результаты лучше представлять в табличной форме. Начнем с середины — 13 правильных решений и 13 неправильных.

Лайза решила правильно 10 задач и неправильно 16 задач.

Табличное представление результатов делает ответ очевидным. Обратите внимание на то, что предположения не выдвигаются наобум. Мы начинаем в середине и движемся вверх или вниз по одному предположению за раз. Поскольку первое предположение значительно выше искомого ответа, мы уменьшаем количество правильных решений на 1 и увеличиваем количество неправильных на 1 за раз, уменьшая сумму на 13 центов.

Задача 10.9

В США существуют монеты следующего достоинства: 1 цент, 5 центов, 10 центов, 25 центов, 50 центов (есть даже монета $1). Какое наименьшее количество монет необходимо, чтобы составить любую сумму от 1 цента до $1?

Обычный подход

Один из подходов — это взять какое-то количество монет каждого достоинства и попытаться найти наименьшее их число, которое позволяет составить любую сумму от 1 цента до $1. Другими словами, реально выполнить необходимые действия. Некоторые пытаются пойти обратным путем и начинают с двух 50-центовых монет. Ни тот ни другой подход нельзя назвать рациональным.

Образцовое решение

Воспользуемся стратегией обоснованного предположения и проверки. Очевидно, что нам понадобятся четыре одноцентовых монеты для получения сумм величиной до 4 центов. Добавив одну пятицентовую монету, мы можем получить любую сумму от 1 цента до 9 центов. Добавление 10-центовой монеты позволяет составить суммы величиной до 19 центов. Еще одна 10-центовая монета делает доступными суммы до 29 центов. Одна 25-центовая монета позволяет составить все суммы до 54 центов. Наконец, одна 50-центовая монета расширяет диапазон доступных сумм до $1. Нам необходимы девять монет следующих достоинств:

1 цент, 1 цент, 1 цент, 1 цент, 5 центов, 10 центов, 10 центов, 25 центов, 50 центов.