Стратегии решения математических задач

Теперь попробуем порассуждать. Очевидно, что множители от 1 до 9 (первые девять целых чисел) уже использовались для получения произведения, равного 2520. Следовательно, нам нужно рассмотреть только целые числа 10, 11, 12 и 13, поскольку число 2520, задействующее предыдущие целые числа, уже известно. Множители 10 (5 × 2) и 12 (4 × 3) уже использовались. Однако 11 и 13 — это простые числа, которые делятся только сами на себя и на 1. Таким образом, умножив 2520 × 11 × 13, мы определяем, что наименьшее число, которое делится на первые 13 целых чисел, равно 360 360.

Задача 1.10

Ал, Барбара, Кэрол и Дэн сдают экзамен по математике. В целом они правильно ответили на 67 вопросов, и у каждого из них есть как минимум один правильный ответ. Ал дал больше всего правильных ответов. Барбара и Кэрол дали в сумме 43 правильных ответа. Сколько правильных ответов дал Дэн?

Обычный подход

Обычно делают предположение для каждого участника экзамена, проверяют, не нарушаются ли условия задачи, и смотрят, дают ли предположения в сумме 67. Такой подход может дать правильный ответ, однако все очень зависит от удачности предположений.

Образцовое решение

Применим нашу стратегию логического рассуждения. Поскольку Барбара и Кэрол вместе дали 43 правильных ответа, у одной из них таких ответов должно быть, как минимум, 22, а у другой — 21. Так как Ал оказался впереди всех, то с учетом предыдущих предположений в отношении Барбары и Кэрол у него должно быть, как минимум, 23 правильных ответа. Если допустить, что у Ала 23 правильных ответа, у Барбары — 22, а у Кэрол — 21, то в сумме у них будет 23 + 22 + 21 = 66 правильных ответов. Это означает, что Дэн правильно ответил только на один вопрос. Поскольку у всех есть как минимум один правильный ответ, результат 1 для Дэна правилен.

Задача 1.11

Лайза, которая едет на велосипеде по мосту, соединяющему точки A и

B, и уже преодолела его длины, слышит, что сзади приближается поезд, движущийся со скоростью 60 км/ч. Она прикидывает расстояния и решает, что впритык сможет избежать столкновения, если поедет в любую сторону (к точке A или точке B) максимально быстро. Какова ее максимальная скорость?

Обычный подход

Поскольку длина моста неизвестна, зададим ее произвольно, выбрав какое-нибудь удобное (хотя, может быть, и нереалистичное) число, скажем, 8 км. Если Лайза поедет назад, к началу моста (точка A), со скоростью y км/ч, то она преодолеет 3 км за часа. За это время поезд пройдет x км от точки A. Данный отрезок времени можно представить, как Это дает нам уравнение: или xy

= 180.

Если Лайза поедет к точке B, то аналогичным образом мы получим уравнение или xy + 8y = 300.

Объединив эти два уравнения, мы получим 8y = 300–180 = 120, а следовательно, y = 15.

Таким образом, максимальная скорость Лайзы равна 15 км/ч.

Образцовое решение

Стратегия логического рассуждения дает более изящное решение. Раз Лайза впритык успевает доехать до любого конца моста, будем считать, что она едет вперед к точке B. К тому моменту, когда поезд подойдет к точке

A, она преодолеет еще пути, т. е. всего длины моста (или его длины). Теперь ей нужно проехать оставшуюся моста за то же самое время, которое требуется поезду, чтобы преодолеть полную длину моста. Таким образом, ее скорость равна скорости поезда, т. е. 15 км/ч.

Задача 1.12

Если S = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + … + 98! + 99! то какая цифра в числе S будет находиться в разряде единиц?

Напомним, что символ n! означает 1 × 2 × 3 × 4 × … × (n — 1) × n.

Обычный подход

Как правило, при решении такой задачи возникает желание определить значение каждого факториала, а затем сложить полученные значения и получить S

. Помимо того, что это скучное занятие, оно еще чревато арифметическими ошибками.

Образцовое решение

Если проанализировать числовой ряд, составляющий S, и упростить его, то мы получим следующее:

S = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + … + 98! + 99!

S = 1 + 2 + 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 2 × 3 × 4 × 5 + … + 98! + 99!

S = 1 + 2 + 6 + 24 + 10k, где k — натуральное число.

Мы представили члены числового ряда, начиная с 5! как 10k, поскольку 5! предполагает наличие множителя 10. Любое число, кратное 5! будет кратно 10. Так как 6! кратно 5! а 7! кратно 6! то факториал любого n, превышающего 5, будет кратен 10. Таким образом, в разряде единиц будет находиться 0.

Глава 2

Распознавание закономерности