Теоретические основы инвестиций в акции, облигации и стандартные опционы

Следует отметить, что, как уже отмечалось, вероятность пониженной доходности безрискового актива всегда равна нулю, а вероятность пониженной доходности рискованного актива всегда превышает нулевое значение. Поэтому сопоставление безрискового актива с рискованным активом по уровню вероятности пониженной доходности не представляется возможным

8.4. Равноценные рискованные активы по структуре денежных потоков

Анализ основных закономерностей нормального и усечённого нормального распределений (см. п.п. 7.1 и 7.2), показывает, что в качестве критерия сопоставления рискованных активов может служить структура денежных потоков, которые формируются областями положительной и отрицательной доходности.

Предположим, что области положительной и отрицательной доходности актива генерируют денежные потоки соответственно и, а актива — и. Если количество активов в портфелях и соответственно составляет и, то идентичность денежных потоков этих портфелей достигается при выполнении условий

Преобразуем эту систему уравнений к виду

где и — математические ожидания доходов активов и соответственно; и — параметры, характеризующие структуру денежных потоков активов и соответственно.

В результате решения данной системы уравнений приходим к выводу, что условие равноценности двух рискованных активов и по структуре денежных потоков определяется как

Целесообразно отметить, что рост МО доходности актива или уменьшение СКО доходности этого же актива приводят к одному и тому же эффекту — уменьшению значений показателя. Поэтому актив предпочтительнее актива, если выполняется неравенство.

Таким образом, показатель может использоваться в качестве комплексного критерия сопоставления рискованных активов.

Обобщая условие равноценности двух рискованных активов, приходим к выводу, что равноценной является совокупность активов с равными параметрами. При фиксированном значении зависимость представляет собой уравнение равноценных активов по структуре денежных потоков.

При выполнении условий (7.19) и (7.20), имеет место равенство. На рис. 8.6 представлены графики зависимости, рассчитанные методом последовательных приближений с использованием формулы (7.18) применительно к активам с нормальной плотностью распределения дохода.

Рис. 8.6. Линии равноценных активов по структуре денежных потоков при нормальной плотности распределения дохода

На основе анализа соотношений (7.7) и (7.18) для и соответственно, а также графиков на рис. 8.6, можно сформулировать следующие положения.

Во — первых, параметры и изменяются в диапазоне от –0,5 (при положительном значении МО доходности) до +0,5 (при отрицательном значении МО доходности). Рост СКО доходности от нуля до бесконечности, как уже отмечалось (см. п.п. 7.1 и 7.2) приводит к росту параметров и от –0,5 до +0,5. То есть рост СКО доходности приводит к изменению структуры денежных потоков — вклад области положительной доходности в формировании дохода портфеля снижается, а вклад области отрицательной доходности — увеличивается.

Во — вторых, при, что является свойством безрисковых активов, денежный поток в области отрицательной доходности отсутствует, поэтому. В этом случае линия равноценных активов совпадает с осью ординат. Следовательно, структура денежных потоков всех безрисковых активов независимо от их доходности идентична и по этой причине не может быть использована для сопоставления безрисковых активов с рискованными активами.

В — третьих, при достаточно малых значениях, когда

и

параметр, а линия равноценных активов описывается линейной функцией

где — аргумент интеграла вероятностей, который определяется из неявного выражения.

Следовательно, при достаточно малых значениях линии равноценных активов по структуре денежных потоков и по уровню вероятности отрицательной доходности практически совпадают.

В — четвёртых, при относительно больших значениях, когда допустимо использование приближённых соотношений приложения 2,

Следовательно, при и фиксированном значении параметра линия равноценных активов определяется как решение квадратного уравнения

Откуда

В — пятых, из рис. 8.6 следует, что траектория линии равноценных активов по структуре денежных потоков зависит от значения показателя. Данное свойство может быть использовано для выявления портфеля с наилучшей структурой денежных потоков. На рис. 8.7 представлено достижимое множество портфелей (заимствованное из рис. 1.5) и линия равноценных активов по уровню параметра, которая является касательной в точке к эффективному множеству.

Рис. 8.7. Линия равноценных активов по уровню параметра, как касательная в точке к достижимому множеству портфелей

В результате расчётов установлено, что касательный портфель обладает минимальным значением параметра из достижимого множества. Действительно, линия равноценных активов при большем угле наклона к оси абсцисс не может иметь общих точек с достижимом множеством, а при меньшем —.