Теоретические основы инвестиций в акции, облигации и стандартные опционы

При нарушении этих равенств в более выгодных условиях будет находиться одна из сторон сделки, для которой создаются благоприятные возможности по извлечению дохода за счёт другой стороны. Следует учитывать, что положительная доходность покупателя и формируется за счёт отрицательной доходности продавца и и на рынке будет наблюдаться спрос на опционы при отсутствии предложения. И наоборот, положительная доходность продавца и формируется за счёт отрицательной доходности покупателя и, что обусловит отсутствие спроса на опционы при наличии предложения.

Следовательно, исходя из логики рыночного механизма ценообразования опционов «колл» и «пут» их справедливая стоимость должна определяться соответственно равенствами (10.41) и (10.42), при этом равновесие математических ожиданий доходностей опционов покупателя и продавца достигается, если

Оценка европейских опционов.

Используя соотношения (10.14) — (10.21), (10.41) и (10.42) получаем уравнения для определения стоимости европейских опционов «колл» и «пут» соответственно

Решая данные уравнения, находим формулы для расчёта стоимости европейских опционов «колл» и «пут» соответственно

Анализ соотношений (10.43) и (10.44) показывает, что, во — первых, стоимости опционов равны дисконтированному среднему доходу, генерируемую опционом, при этом непрерывно начисляемая ставка дисконтирования составляет. Во — вторых, стоимость опционов при экспоненциально увеличивается по мере истечения срока действия опциона, а при — остаётся постоянной в течение всего срока действия опционов. В — третьих, стоимость опционов не зависит от текущей стоимости базисного актива. В — четвёртых, стоимость опционов детерминирована и может быть заранее рассчитана как функция относительного времени.

Для приближённых расчётов следует принять во внимание, что, как правило, и можно полагать. При этом максимальная ошибка в расчётах стоимости европейских опционов не будет превышать 3,8 %. Если к тому же выполняется условие, то можно принять, и с учётом соотношения для аргумента интеграла вероятностей формулы (10.43) и (10.44) можно представить в более компактном виде

где

Из полученных приближённых соотношений следует, что стоимость европейских опционов практически не зависит от времени до окончания срока действия опциона, а также прямо пропорциональна СКО стоимости базисного актива и коэффициентам (для опциона «колл») и (для опциона «пут»). При этом рост СКО стоимости базисного актива (как следствие, и) приводит к росту стоимости европейских опционов прямо пропорционально величине. Следовательно, чем выше неустойчивость стоимости базисного актива, тем выше стоимость европейских опционов.

Преобразуем соотношения (10.45) и (10.46) к виду

Из данных соотношений следует, что коэффициенты и фактически являются относительной стоимостью европейских опционов «колл» и «пут».

На рис. 10.7 представлены графики зависимостей коэффициентов и от аргумента интеграла вероятностей.

Рис. 10.7. Графики зависимостей коэффициентов и от аргумента интеграла вероятностей

Анализ соотношений (10.45) и (10.46) и графиков на рис. 10.7 показывает, что при т. е. при относительно низкой цене исполнения, коэффициенты и. Другими словами при стоимость опциона «колл» линейно зависит от аргумента интеграла вероятностей, а стоимость опциона «пут» стремится к нулю.

При т. е. при относительно высокой цене исполнения, коэффициенты и. Это означает, что при стоимость опциона «колл» стремится к нулю, а стоимость опциона «пут» линейно зависит от аргумента интеграла вероятностей.

При т. е. при, коэффициенты.

Графически такой характер зависимостей коэффициентов проявляется в симметрии кривых и относительно оси ординат.

Используя соотношения (10.14) — (10.24), а также соотношения (10.43) и (10.44), находим формулы для расчёта математических ожиданий доходностей опционов за промежуток относительного времени между покупкой опциона и моментом его исполнения, а также формулы для расчёта математических ожиданий годовых доходностей европейских опционов «колл» и «пут»

где и — математические ожидания годовых доходностей европейских опционов «колл» и «пут» соответственно для покупателя; и — математические ожидания годовых доходностей европейских опционов «колл» и «пут» соответственно для продавца.

Из соотношения (10.47) следует, что математические ожидания доходности европейских опционов «колл» и «пут» за промежуток относительного времени для продавцов и покупателей одинаковы и являются функцией непрерывно начисляемой ставки дисконтирования, а также промежутка относительного времени между покупкой опциона и моментом его исполнения. Кроме того, минимальное значение математических ожиданий доходностей имеет место в момент исполнения опциона (т. е. при), а максимальное значение — достигается при максимальном значении (т. е. в день первичной продажи опциона).