Теоретические основы инвестиций в акции, облигации и стандартные опционы

Следовательно, продажа американских опционов возможна только при выполнении условий

для опциона «колл»:

для опциона «пут»:

Следует подчеркнуть, что выполнение условий (10.25) и (10.26) не означает целесообразность продажи американских опционов, а свидетельствует лишь о такой возможности.

Действительно, если условия (10.25) и (10.26) выполняются, но по мере истечения срока действия опциона его стоимость снижается и получаемый капитальный доход отрицателен, т. е. при или, продажа опциона не имеет смысла.

Кроме того, продажа опциона не оправдана, если условия (10.25) и (10.26) выполняются и получаемый капитальный доход от продажи положителен, но ниже, чем математическое ожидание дохода от реализации досрочного исполнения в течение оставшегося срока действия или ниже математического ожидания дохода, который генерируется по окончании срока действия опциона.

Таким образом, продажа опциона оправдана, если выполняются условия

применительно к опциону «колл»:

применительно к опциону «пут»:

где и — математические ожидания доходов, которые генерируется по окончании сроков действия опционов «колл» и «пут» соответственно (см. п. 10.4); и — математические ожидания доходов от реализации досрочного исполнения в течение оставшегося срока действия опционов «колл» и «пут» соответственно.

Кроме того, продажа опциона возможна при условии обоюдной выгоды, как для продавца, так и для покупателя.

Особенности досрочного исполнения американских опционов.

Очевидно, что при, (для опциона «колл») и (для опциона «пут») досрочное исполнение опциона убыточно и поэтому не имеет смысла. Следовательно, досрочное исполнение американских опционов возможно, если выполняются условия

для опциона «колл»:

для опциона «пут»:

Сравнение неравенств (10.12) и (10.27), (10.13) и (10.28) показывает, что, если стоимость американского опциона соответствует формуле Блэка — Шоулза, то условия (10.27) и (10.28) принципиально не выполнимы и досрочное исполнение американских опционов исключается. Поэтому инвесторы, использующие на практике формулу Блэка — Шоулза для расчёта стоимости американского опциона, фактически лишаются возможности досрочного исполнения опциона.

Кроме того сопоставление условий (10.25) и (10.27), (10.26) и (10.28) указывает на безальтернативность операций с опционами — в зависимости от значения стоимости базисного актива возможна либо продажа, либо досрочное исполнение опциона. Поэтому положение о том, что «американские» опционы «колл» до даты исполнения целесообразно продавать, но не исполнять по причине потери временной стоимости» [1] (см. п. 10.1), принципиально невыполнимо.

По аналогии с особенностями продажи американских опционов, выполнение условий (10.27) и (10.28) не означает целесообразность досрочного исполнения американских опционов, а свидетельствует лишь о такой возможности. Действительно, если условия (10.27) и (10.28) выполняются, но получаемый доход от досрочного исполнения опциона на текущую дату ниже, чем математическое ожидание дохода от реализации досрочного исполнения в течение оставшегося срока действия или ниже математического ожидания дохода, который генерируется по окончании срока действия опциона, то досрочное исполнение опциона на текущую дату не оправдано. Таким образом, досрочное исполнение опциона оправдано, если выполняются условия

применительно к опциону «колл»:

применительно к опциону «пут»:

Преобразуем условия досрочного исполнения опционов (10.29) — (10.32) к виду:

применительно к опциону «колл»

применительно к опциону «пут»

Как и следовало ожидать, сопоставление неравенств (10.33) — (10.34) с (10.27) и (10.35) — (10.36) с (10.28) показывает, что условия досрочного исполнения опционов являются более жёсткими по сравнению с условиями, когда досрочное исполнение опционов возможно.

Анализ особенностей продажи и досрочного исполнения американских опционов показывает, что в основу стохастической модели должно быть положено определение математических ожиданий доходов и, а также осуществлена оценка опционов (см. следующий параграф 10.6).

Вероятности выполнения условий (10.33) и (10.35) при завершении одного торгового дня. В соответствии с соотношениями (10.33) и (10.35) досрочное исполнение опциона может быть оправданным, если случайная стоимость базисного актива превысит пороговое значение (для опциона «колл») или станет ниже порогового значения (для опциона «пут»). Тогда искомые вероятности можно определить как

где.

Вероятности выполнения условий (10.33) и (10.35) хотя бы один раз за оставшиеся торговых дня до даты окончания срока действия опциона (см. п. 10.3). Искомые вероятности можно трактовать как вероятности досрочного исполнения опционов «колл» и «пут», которые определяются соответственно как