Ткань космоса. Пространство, время и текстура реальности

Но если бы Вселенная имела два или даже только одно пространственное измерение, то как изменилась бы формула Ньютона? На рис. 13.5 апредставлена двумерная версия ситуации с Солнцем и вращающимся спутником. Как видно, линии гравитационного поля Солнца равномерно распределяются по окружности — аналогу сферы в двумерном пространстве. Поскольку длина окружности пропорциональна её радиусу (а не квадрату радиуса), то при удвоении расстояния между Солнцем и спутником плотность линий поля уменьшается в 2 раза (а не в 4 раза), из-за чего сила гравитационного притяжения падает только в 2 раза (а не в 4). Если Вселенная имела бы только два пространственных измерения, то гравитационная сила была бы обратно пропорциональна расстоянию, а не квадрату расстояния.

Рис. 13.5.( а

) Во Вселенной только с двумя пространственными измерениями гравитационная сила падает пропорционально расстоянию, поскольку линии гравитационного поля однородно распределяются по окружности, длина которой пропорциональна её радиусу. ( б) В одномерной Вселенной у линий гравитационного поля совсем не было бы места для пространственного расхождения, так что гравитационная сила была бы постоянной, независимо от расстояния

Если Вселенная имела бы лишь одно пространственное измерение, как на рис. 13.5

б, то закон всемирного тяготения был бы ещё проще. У линий гравитационного поля вообще бы не было места для пространственного расхождения, так что сила гравитации не уменьшалась бы с расстоянием. Если удвоить расстояние между Солнцем и спутником (при условии, что подобные объекты могли бы существовать в такой Вселенной), то спутник будет пронизывать всегда одно и то же количество линий поля и, следовательно, сила гравитации между Солнцем и спутником вообще не изменялась бы.

Ситуация, проиллюстрированая на рис. 13.4 и 13.5, напрямую распространяется на Вселенную с четырьмя, пятью, шестью и более пространственными измерениями, хотя это уже невозможно изобразить. Чем больше пространственных измерений, тем больше места для расхождения линий гравитационного поля. А чем больше места, тем всё более ощутимее падает сила гравитации с увеличением расстояния между объектами. Во Вселенной с четырьмя пространственными измерениями сила гравитации падала бы обратно пропорционально третьей степени расстояния (при удвоении расстояния сила уменьшалась бы в 8 раз); в пяти пространственных измерениях эта сила падала бы обратно пропорционально четвёртой степени расстояния (при удвоении расстояния сила уменьшалась бы в 16 раз); в шести пространственных измерениях эта сила падала бы обратно пропорционально пятой степени расстояния (при удвоении расстояния сила уменьшалась бы в 32 раза); и так далее с увеличением количества пространственных измерений Вселенной.

Вы могли бы подумать, что успешное объяснение громадного объёма данных с помощью закона обратных квадратов (от движения планет до траекторий комет) подтверждает то, что мы живём во Вселенной с тремя пространственными измерениями. Но такой вывод был бы поспешным. Нам известно, что закон обратных квадратов работает на астрономических масштабах, ^{177}и мы знаем, что он работает на земных масштабах, и это согласуется с тем фактом, что на таких масштабах мы видим три пространственных измерения. Но известно ли нам, что он работает и на более мелких масштабах? Насколько он был проверен в микрокосмосе? Оказывается, эксперименты подтвердили его лишь до десятой доли миллиметра; если два объекта разделяет расстояние, превышающее десятую часть миллиметра, то сила их гравитационного притяжения точно соответствует обратной квадратичной зависимости. Но пока что экспериментаторы наталкиваются на значительные технические трудности при проверке закона всемирного тяготения на более мелких масштабах (это связано со слабостью гравитационного взаимодействия и квантовыми эффектами). Этот вопрос очень важен, поскольку отклонение от закона обратных квадратов явилось бы убедительным сигналом, указывающим на существование дополнительных измерений.