Том 1. Механика, излучение и теплота

Этому решению соответствует α₂, и оно отличается от первого лишь знаком ω_γ

(24.18)

Что все это значит? Скоро мы докажем, что если x₁ и х₂— возможные решения (24.1) при F(t)=0, то х₁+х₂—тоже решение этого уравнения! Таким образом, общее решение имеет вид

(24.19)

Теперь можно спросить: «А, собственно, зачем нам беспокоить себя еще одним решением, если нас вполне устраивало первое? К чему эти дополнительные решения, если мы все равно должны взять только действительную часть?» Мы знаем, что нужно взять действительную часть, но откуда математика знает, что мы хотим взять действительную часть? Когда у нас была внешняя сила F(

t), то мы ее дополнили искусственной силой, и она каким-то образом управляла мнимой частью уравнения. Но когда мы положили F(t)≡0, то соглашение о том, что, каково бы ни было х, нужно взять только его действительную часть, стало нашим личным делом, и математическое уравнение об этом ничего не знало. В мире физики есть только действительные решения, но решение, которому мы так радовались, комплексно. Уравнению не известно, что мы делаем совершенно неожиданный шаг и отбираем только действительную часть, и оно предлагает нам еще, так сказать, комплексно сопряженное решение, чтобы, сложив оба решения, мы получили настоящее действительное решение; вот для чего мы взяли еще и α₂. Чтобы х было действительным, Bexp(-iω_γt

) должно быть комплексно сопряженным к Aexp(iω_γt) числом, тогда мнимая часть исчезнет. Таким образом, B должно быть комплексно сопряжено с А, поэтому наше решение имеет вид

(24.20)

Значит, наши колебания — это колебания с фазовым сдвигом и, как полагается, с затуханием.

§ 3. Переходные колебания в электрических цепях

Посмотрим, как выглядят переходные колебания. Для этого соберем цепь, изображенную на фиг. 24.2.

Фиг. 24,2. Электрическая цепь для демонстраций переходных колебаний.

В этой цепи разность потенциалов между концами индуктивности L поступает в осциллоскоп. Неожиданное включение рубильника S включает дополнительное напряжение и вызывает в осцилляторной цепи переходные колебания. Эти колебания аналогичны колебаниям механического осциллятора, вызванными неожиданным ударом. Сама цепь представляет собой электрический аналог механического осциллятора с затуханием, и мы можем наблюдать колебания при помощи осциллоскопа. Он покажет нам кривые, анализом которых мы и займемся. На фиг. 24.3—24.6 представлены кривые затухающих колебаний, полученные на экране осциллоскопа. На фиг. 24.3 показаны затухающие колебания в цепи с большой

Q, т. е. с малым значением γ.

Фиг. 24.3. Затухающие колебания.

В такой цепи колебания затухают не очень быстро; мы видим довольно длинную синусоиду с медленно убывающим размахом.

Теперь давайте посмотрим, что произойдет, если мы будем уменьшать Q, так что колебания должны затухать быстрее. Чтобы уменьшить Q, увеличим сопротивление цепи R. При повороте ручки сопротивления колебания действительно затухают скорее (фиг. 24.4).

Фиг. 24.4. Колебания затухают быстрее.

Если еще увеличить сопротивление, то колебания затухнут еще быстрее (фиг. 24.5).

Фиг, 24.5. Колебания почти исчезли.

Но если сопротивление увеличить сверх некоторого предела, колебаний мы вообще не увидим. А может быть, нам просто отказывают глаза? Увеличим еще сопротивление и получим тогда кривую, представленную на фиг. 24.6; по ней можно лишь с натяжкой сказать, что в цепи произошли колебания, ну разве что одно.

Фиг. 24.6. Колебаний нет.

Можем ли мы математически объяснить это явление?

Сопротивление механического осциллятора, конечно, пропорционально γ. В нашем случае γ — это R/L. Теперь, если увеличивать γ, то в столь приятных нам решениях (24.14) и (24.15) наступает беспорядок; когда γ/2 становится больше ω₀, решения приходится записывать по-другому:

Это снова два решения, которые приводят нас к решениям exp(iα₁t) и exp(iα₂t). Подставив теперь α₁, получим

Никаких колебаний. Чисто экспоненциальное убывание. То же самое дает и второе решение