Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Теперь поместим M к западу от подвешенного магнита, установив его центр в точке, соответствующей отметке на шкале 2s₀-s₁. Для отклонений оси в двух новых положениях ₃ и ₄ получим, как и прежде:

1

4

M

H

r

₂

^3

(

tg

₃

-

tg

₄

)

=

1+

A

₂

1

r₂²

+

A

₄

1

r₂⁴

+…

.

(9)

Допустим, что истинное положение центра подвешенного магнита не s₀, а s₀+; тогда

r

₁

=

r-

,

r

₂

=

r+

(10)

и

1

2

r

₁

ⁿ

+

r

₂

ⁿ

=

r

ⁿ

1+

n(n-1)

2

^2

r^2

+…

.

(11)

Если измерения проведены достаточно аккуратно, то величиной ^2/r^2 можно пренебречь и вместо r₁ⁿ и r₂ⁿ с уверенностью подставить rⁿ.

Тогда, взяв среднее арифметическое от (8) и (9), получим

1

8

M

H

r^3

(

tg

₁

-

tg

₂

+

tg

₃

-

tg

₄

)

=

1+

A

₂

1

r^2

+…

(12)

или, введя обозначение

1/4

(

tg

₁

-

tg

₂

+

tg

₃

-

tg

₄

)

=

D

,

(13)

найдём

1

8

M

H

D

r^3

=

1+

A

₂

1

r^2

+…

.

454. Теперь мы можем рассматривать D и r как величины, допускающие точное определение.

Значение A₂ никогда не превосходит 2L^2 (L - половина длины магнита); поэтому на расстояниях r, значительных по сравнению с L, мы можем пренебречь членом с A₂ и сразу же определить отношение H к M. Нельзя, однако, считать, что величина A₂ равна 2L^2, она может быть меньше и даже отрицательна, если максимальный размер магнита поперечен по отношению к оси. Членами с A₄ и более высокого порядка можно пренебречь без опасений.

Чтобы исключить A₂, повторим эксперимент с различными расстояниями r₁, r₂, r₃, …, получив для D значения D₁, D₂, D₃, …; тогда

D

₁

=

2M

H

1

r₁³

+

A₂

r₁⁵

,

D

₂

=

2M

H

1

r₂³

+

A₂

r₂⁵

, …, … .

Если предположить, что вероятные ошибки этих уравнений одинаковы, а это будет так, когда они зависят только от определения D и когда не существует неопределённости в величине r, то в соответствии с общим правилом комбинирования в теории ошибок измерений (в предположении равенства вероятных ошибок всех уравнений) одно из комбинированных уравнений получится при умножении каждого из приведённых выше уравнений на r^-3 и сложения результатов, а второе - при умножении на r^-5 и также с последующим сложением результатов.

Обозначив через (Dr^-3) величину

D

₁

r

₁

^-3

+

D

₂

r

₂

^-3

+

D

₃

r

₃

^-3

+…

и используя аналогичные обозначения для других групп символов, оба результирующие уравнения можно записать в виде

(Dr

^-3

)

=

2M

H

(r

^-6

)

+

A

₂

(r

^-8

)

,

(Dr

^-5

)

=

2M

H

(r

^-8

)

+

A

₂

(r

^-10

)

,

откуда

2M

H

(r

^-6

)

(r

^-10

)

-

(r

^-8

)

^2

=

=

(Dr

^-3

)

(Dr

^-10

)

-

(Dr

^-5

)

(Dr

^-8

)

и

A

₂

(Dr

^-3

)

(Dr

^-10

)

-

(Dr

^-5

)

(Dr

^-8

)

=

=

(Dr

^-5

)

(Dr

^-6

)

-

(Dr

^-3

)

(Dr

^-8

)

.

Величина A₂, найденная из этих уравнений, должна быть меньше половины квадрата длины магнита M. В противном случае следует подозревать наличие какой-то ошибки в измерениях. Этот метод измерения и редукции был дан Гауссом в «Первом Докладе Магнитного Союза».

Если наблюдатель может сделать лишь две серии экспериментов для расстояний r₁ и r₂, то вычисленные по ним величины 2M/H и A₂ будут равны

Q

=

2M

H

=

D₁r₁

⁵-D₂r₂⁵

r₁²-r₂²

,

A

₂

=

D₂r₂³-D₁r₁³

D₁r₁⁵-D₂r₂⁵

r

₁

²

r

₂

²

.

Ошибка в определении величины Q равна

Q

=

r₁⁵D₁-r₂⁵D₂

r₁²-r₂²

где D₁ и D₂ - действительные ошибки измеренных отклонений D₁ и D₂.

Предполагая ошибки D₁ и D₂ независимыми, а вероятное значение каждой из них равным D, для вероятной ошибки Q вычисленного значения Q получим

(Q)^2

=

r₁¹⁰+r₂¹⁰

(r₁²-r₂²)^2

(D)^2

.

Считая заданным одно из расстояний, например меньшее, можно найти величину большего расстояния, при котором ошибка Q минимальна. Это условие приводит к уравнению пятой степени относительно r₁², которое имеет только один действительный корень, превышающий r₂²; отсюда находится наилучшее значение для r₁: r₁=1,3189r₂.

Если измерение проведено только один раз, то наилучшим является расстояние, при котором

D

D

=

3

r

r

,

где D - вероятная ошибка в измерении отклонения, а r - вероятная ошибка в измерении расстояния.

Метод синусов

455. Метод, который мы только что рассмотрели, можно назвать методом тангенсов, поскольку мерой магнитной силы является тангенс угла отклонения.

Теперь, вместо того чтобы линию r₁, направлять на восток или на запад, будем устанавливать её до тех пор, пока она не окажется перпендикулярной оси отклонённого магнита; тогда величина R сохранится прежней, но чтобы подвешенный магнит оставался перпендикулярным r, составляющая силы H вдоль r должна быть равна по величине R и противоположно направлена, т.е. при угле отклонения R=H sin .

Этот метод называется методом синусов. Он может быть применён только при R, меньших H.

Метод синусов использован в портативной аппаратуре обсерватории Кью. Подвешенный магнит прикреплён к той части прибора, которая вращается вместе с телескопом и плечом отклоняющего магнита. Угол поворота всего устройства измеряется на азимутальном круге.

В начале аппаратура регулируется таким образом, чтобы ось телескопа совпадала со средним положением линии визирования магнита в невозмущённом положении. Если магнит совершает колебания, то истинный азимут магнитного севера находится путём наблюдения крайних положений колебания прозрачной шкалы и внесением соответствующей поправки в показания азимутального круга.