Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Будем также рассматривать элемент ds' разложенным на cos 'ds'=' в направлении, обратном r, на sin ' cos ds'=' - в направлении, параллельном тому, в котором измерен , и на sin ' sin ds'=' - в направлении, перпендикулярном ' и '.

Рассмотрим действие между составляющими и , с одной стороны, и между ', ', ' - с другой.

(1). и ' лежат на одной прямой. Сила между ними должна быть поэтому тоже направлена вдоль этой прямой. Будем считать её притягивающей, A'ii', где A есть функция r, а i, i' - интенсивности токов соответственно в ds и ds'. Это выражение удовлетворяет условию изменения знака перед i и перед i'.

(2). и ' параллельны друг другу и перпендикулярны линии, их соединяющей. Действие между ними записывается так: B'ii'.

Эта сила действует, очевидно, вдоль линии, соединяющей и ' ибо она должна быть в плоскости, в которой лежат эти составляющие, и если бы мы измерили и ' в обратном направлении, то это выражение осталось бы неизменным, значит, если оно представляет силу, то такую, у которой нет составляющих в направлении и которая, следовательно, должна быть направлена по r. Будем считать, что это выражение, когда оно положительно, соответствует притяжению.

(3). и ' перпендикулярны друг к другу, а также к линии, их соединяющей. Единственным возможным действием между расположенными так элементами является пара сил с осью, параллельной r. Но мы сейчас заняты самими силами и поэтому оставим это в стороне.

(4). Действие и ' (если они вообще действуют друг на друга) должно выражаться так: C'ii'.

Знак этого выражения обращается на противоположный при обращении направления, в котором мы измеряем '. Поэтому оно должно представлять собой либо силу в направлении ', либо момент пары сил в плоскости и '. Поскольку мы не изучаем пары, то будем принимать его за силу, действующую на в направлении '.

Существует, конечно, и равная ей сила, действующая на ' в противоположном направлении.

По той же причине мы имеем силу C'ii', действующую на в направлении ', и силу C'ii', действующую на в направлении, противоположном тому, в котором измеряется .

514. Собирая вместе наши результаты, мы находим, что сила, действующая на ds, составляется из следующих сил:

X

=

(A'+B')ii'

 в направлении

r

,

Y

=

C('-')ii'

 в направлении

,

Z

=

C'ii'

 в направлении

'

.

(9)

Предположим, что это действие на ds является результирующей трёх сил: силы Rii'dsds', действующей в направлении r, силы Sii'dsds', действующей в направлении ds, и силы S'ii'dsds', действующей в направлении ds', тогда в выражении через ' и

R

=

(A+2C)

cos

cos '

+

B

sin

sin '

cos

S

=

-C

cos '

,

S'

=

C

cos

.

(10)

В выражении через производные от r

R

=

(A+2C)

dr

ds

dr

ds'

-

Br

d^2r

dsds'

,

S

=

C

dr

ds'

 ,

S'

=

-C

dr

ds

(11)

В выражении через l, m, n и l', m', n'

R

=

-(A+2C+B)

1

r^2

(l+m+n)

(l'+m'+n')

+

+

B

(ll'+mm'+nn')

,

S

=

C

dr

ds'

(l'+m'+n')

 ,

S'

=

-C

dr

ds

(l+m+n)

 .

(12)

где , , написаны взамен x'-x, y'-y, и z'-z соответственно.

515. Далее мы должны подсчитать силу, с которой конечный участок тока s' действует на конечный участок тока s. Участок тока s тянется от A, где s=0, до P, где оно имеет значение s, а участок тока s' тянется от A', где s'=0, до P', где оно имеет значение s'. Координаты точек на любом из токов являются функциями s или s'.

Если F есть функция положения точки, то мы будем употреблять нижний индекс _(s,0) для обозначения превышения значения этой функции в P над её значением в A, т.е. F_(s,0)=F_P-F_A. Для замкнутых контуров эти функции с необходимостью исчезают.

Пусть ii'X, ii'Y и ii'Z будут составляющими полной силы, с которой A'P' действует на AP. Тогда параллельная X составляющая силы, с которой ds' действует на ds, будет равна

ii'

d^2X

dsds'

ds

ds'

.

Откуда

d^2X

dsds'

=

R

r

+

Sl

+

S'l'

.

(13)

Подставляя значения R, S и S' из (12) и помня, что

(l'+m'+n')

=

r

dr

ds'

,

(14)

и группируя члены, содержащие l, m, n, мы найдём

d^2X

dsds'

=

l

-(A+2C+B)

1

r^2

dr

ds'

^2

+C

dr

ds'

+(B+C)

l'

r

+

m

-(A+2C+B)

1

r^2

dr

ds'

+C

l'

r

+B

m'

r

+

n

-(A+2C+B)

1

r^2

dr

ds'

+C

l'

r

+B

n'

r

.

(15)

Так как A, B и C являются функциями r, мы можем записать

P

=

r

(A+2C+B)

1

r^2

dr

,

Q

=

r

C

dr

.

(16)

Здесь интегрирование проводится между r и , поскольку A, B, C исчезают при r=.

Следовательно,

(A+2C+B)

1

r^2

=-

dP

dr

 ,

C

=-

dQ

dr

 .

(17)

516. Но мы знаем, что, согласно третьему случаю равновесия Ампера, когда s' является замкнутым контуром, сила, действующая на ds, перпендикулярна к направлению ds, или, другими словами, составляющая силы в направлении самого элемента ds равна нулю. Предположим в связи с этим, что направление оси x параллельно ds, т.е. положим l=1, m=0, n=0. Уравнение (15) тогда станет таким:

d^2X

dsds'

=

dP

ds'

-

dQ

ds'

+(B+C)

l'

r

.

(18)

Чтобы найти dX/ds, т.е. силу на ds, отнесённую к единице длины, мы должны проинтегрировать это выражение по s'. Интегрируя первый член по частям, находим

dX

ds

=

(P^2-Q)

_(s',0)

-

s'

0

(2Pr-B-C)

l'

r

ds'

.

(19)