Читаем Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2. полностью

Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Когда s' составляет замкнутый контур, это выражение должно быть нулём. Первый его член исчезнет сам. Второй член, однако, в случае замкнутого контура, вообще говоря, не исчезает, если величина, стоящая под знаком интеграла, не обращается тождественно в нуль. Следовательно, чтобы удовлетворить условию Ампера, мы должны положить

(B+C)

(20)

517. Мы можем теперь исключить P и найти общее выражение для dX/ds

B+C

(l+m+n)

(s',0)

B-C

m'-l'

ds'

-n

B-C

l'-n'

ds'

(21)

Когда s' является замкнутым контуром, первый член этого выражения исчезает, и, если положить

B-C

n'-m'

ds'

B-C

l'-n'

ds'

B-C

m'-l'

ds'

(22)

(где интегрирование распространено на замкнутый контур s'), то мы сможем записать

m'-n'

и аналогично

n'-l',

n'-l'.

(23)

Величины ', ', ' иногда называют определителями контура s' относительно точки P а их результирующая названа Ампером директрисой электромагнитного действия.

Из этого уравнения очевидно, что сила, имеющая компоненты (dX/ds)ds, (dY/ds)ds и (dZ/ds)ds, перпендикулярна как к элементу ds, так и к его директрисе; эта сила представлена численно площадью параллелограмма, сторонами которого являются элемент ds и директриса действия.

На языке кватернионов результирующая сила, действующая на ds, есть векторная часть произведения директрисы на ds.

Поскольку мы уже знаем, что директриса есть то же самое, что и магнитная сила, обусловленная единичным током в контуре s', то далее мы будем говорить о директрисе, как о создаваемой контуром магнитной силе.

518. Теперь мы завершим вычисления составляющих силы, действующей между двумя конечными токами, замкнутыми или разомкнутыми.

Пусть будет новой функцией r, такой, что

(B-C)

(24)

тогда в силу (17) и (20)

A+B+2C

d^2

dr^2

(Q+)

(25)

и уравнения (11) становятся такими:

cos

d^2

dsds'

(Q+)

ds'

(26)

При таких значениях составляющих сил уравнение (13) будет иметь вид

d^2X

dsds'

-cos

d^2

dsds'

(Q+)

-l

ds'

+l'

cos

d^2{(Q+)}

dsds'

ds'

-l'

(27)

519. Пусть

(28)

ds'

(29)

Эти величины имеют определённые значения для любой заданной точки пространства. Для замкнутых контуров они соответствуют составляющим вектор-потенциалов контуров.

Пусть L будет новой функцией r, такой, что

r(Q+)

(30)

и пусть M будет двойным интегралом

cos

ds'

(31)

который для замкнутых контуров становится их взаимным потенциалом; тогда уравнение (27) может быть записано в виде

d^2X

dsds'

d^2

dsds'

-F'

(32)

520. Интегрируя по s и s' между заданными пределами, находим

(

_PP'

_AP'

_A'P

_AA'

_P'

_A'

(33)

где индексы у L характеризуют расстояние r, функцией которого является L, а индексы у F и F', характеризуют точки, в которых следует брать значения этих функций.

Исходя из этого, могут быть написаны выражения для Y и Z. Умножая эти три составляющие соответственно на dx, dy и dz, получаем

Xdx

Ydy

Zdz

_PP'

_AP'

_A'P

_AA'

)

(

F'dx

G'dy

H'dz

)

_(P-A)

(

Fdx

Gdy

Hdz

)

_(P'-A')

(34)

где D обозначает полный дифференциал.

Так как выражение Fdx+Gdy+Hdz не является, вообще говоря, полным дифференциалом какой-либо функции от x, y, z, то и выражение Xdx+Ydy+Zdz не является полным дифференциалом токов в том случае, когда один из них разомкнут.

521. Если, однако, оба тока замкнутые, то члены в L, F, G, H, F', G', H', исчезают и

Xdx+Ydy+Zdz

(35)

где M есть взаимный потенциал двух замкнутых контуров, несущих единичные токи. Величина M выражает работу, производимую электромагнитными силами над любым из проводящих контуров при его перемещении параллельно самому себе с бесконечного расстояния до места его фактического расположения. Любому изменению его положения, увеличивающему M, будет оказано содействие со стороны электромагнитных сил.

Можно показать, как в п. 490, 596, что и когда движение контура не параллельно самому себе, то силы, действующие на него, всё равно определяются через вариацию M потенциала одного контура на другом.

522. Единственным экспериментальным фактом, использованным нами в этом исследовании, является факт, установленный Ампером и состоящий в том, что действие замкнутого контура на произвольный участок другого контура перпендикулярно направлению последнего. Все остальные этапы исследований связаны с чисто математическими соображениями, зависящими от свойств линии в пространстве. Эти рассуждения поэтому могут быть представлены в более сжатой и подходящей форме путём использования идей и языка математического метода, специально приспособленного для выражения таких геометрических соотношений, а именно метода кватернионов Гамильтона.

Это было сделано проф. Тэтом в Quarterly Journal of Mathematics, 1866, и в его трактате по Кватернионам в § 399 применительно к оригинальным исследованиям Ампера. Читатель, изучающий предмет, сможет легко распространить этот метод на несколько более общее исследование, приведённое здесь.

Перейти на страницу: