Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

523. До сих пор мы не делали никаких предположений относительно величин A, B, C, кроме того, что они являются функциями расстояния между элементами r. Теперь мы должны установить вид этих функций; воспользуемся для этой цели четвёртым случаем равновесия Ампера, п. 508, в котором показывается, что если линейные размеры и расстояния в системе двух контуров изменить в одинаковой пропорции, сохранив токи неизменными, то сила между двумя контурами останется прежней.

Но сила между двумя контурами для единичных токов равна dM/dx и, так как она не зависит от размеров системы, должна быть величиной численной. Следовательно, сама величина M, являющаяся коэффициентом взаимного потенциала контуров, должна иметь размерность длины. Тогда из (31) следует, что р должна быть величиной, обратной длине, и, следовательно, в силу (24) разность B-C должна быть обратна квадрату длины. Но так как и B и C являются функциями r, то разность B-C должна быть обратным квадратом r, возможно, с каким-то численным множителем перед ним.

524. Множитель, который мы принимаем, зависит от нашей системы измерений. Если мы принимаем электромагнитную систему (а она называется так потому, что согласуется с системой, уже установленной для магнитных измерений), То величина M должна совпадать с величиной потенциала двух магнитных оболочек единичной мощности, границами которых служат соответственно два этих контура. В этом случае величина M, согласно п. 423, равна:

M

=

cos

r

ds

ds'

,

(36)

где интегрирование производится по обоим контурам в положительном направлении. Приняв это выражение за численное значение M и ср. с (31), найдём

=

1

r

,

B-C

=

2

r^2

.

(37)

525. Мы можем теперь выразить составляющие силы, возникающей из-за действия элемента ds', на элемент ds, в наиболее общей форме, согласующейся с данными экспериментов.

Сила, действующая на ds, состоит из следующих сил притяжения:

R

ii'dsds'

=

1

r^2

dr

ds

dr

ds'

-2r

d^2r

dsds'

ii'dsds'

+r

d^2Q

dsds'

ii'dsds'

в направлении

r

,

S

ii'dsds'

=-

dQ

ds'

ii'dsds'

в направлении

ds

,

и

S'

ii'dsds'

=-

dQ

ds

ii'dsds'

в направлении

ds'

,

(38)

где

Q

=

r

C

dr

,

и, поскольку C является неизвестной функцией r, нам известно только, что Q есть функция r.

526. Величина Q не может быть без какого-то рода предположений определена из экспериментов, в которых активный ток образует замкнутый контур. Если мы вместе с Ампером будем считать, что действие между элементами ds и ds' происходит вдоль соединяющей их линии, то силы S и S' должны исчезнуть, а величина Q либо стать постоянной, либо обратиться в нуль. Тогда сила сводится к силе притяжения, величина которой равна

R

ii'dsds'

=

1

r^2

dr

ds

dr

ds'

-2r

d^2r

dsds'

ii'dsds'

.

(39)

Ампер, проводивший это исследование задолго до установления магнитной системы единиц, пользовался формулой, содержащей численный множитель, равный половине этого, а именно

R

jj'dsds'

=

1

r^2

1

2

dr

ds

dr

ds'

-r

d^2r

dsds'

jj'dsds'

.

(40)

Здесь сила тока измеряется в так называемых электродинамических мерах. Если i, i' - силы токов в электромагнитных единицах, а j, j' - в электродинамических единицах, то очевидно, что

jj'

=

2ii

, или

j

=

2

i

.

(41)

Следовательно, единичный ток, принятый в электромагнитной мере, больше такового в электродинамической мере в отношении 2 к 1.

Единственным аргументом в пользу обращения к электродинамической единице является то, что эта единица первоначально была принята Ампером - первооткрывателем закона взаимодействия токов. Но связанное с ней непрерывное появление 2 в вычислениях неудобно; электромагнитная система обладает большим преимуществом: численно она совпадает со всеми нашими магнитными формулами. И, поскольку обучающемуся трудно удерживать в памяти, должен ли он что-то умножать или что-то делить на 2, мы будем впредь использовать только электромагнитную систему, принятую Вебером и большинством других авторов.

Так как ни вид, ни величина Q не влияют на какие-либо проделанные до сих пор опыты, в которых, по крайней мере, активный ток всегда был замкнутым, мы можем при желании принять для Q любое значение, если нам покажется, что это упростит формулы.

Так, Ампер предположил, что сила между двумя элементами действует вдоль линии, их соединяющей. Это даёт Q=0,

R

ii'dsds'

=

1

r^2

dr

ds

dr

ds'

-2r

d^2r

dsds'

ii'dsds'

,

S

=

0,

S'

=

0.

(42)

Грассманн ¹ предположил, что два элемента, расположенные вдоль одной и той же прямой линии, не взаимодействуют. Это даёт

Q

=-

1

2r

 ,

R

=-

1

2r

d^2r

dsds'

 ,

S

=-

1

2r^2

dr

ds'

 ,

S'

=

1

2r^2

dr

ds

.

(43)

¹Pogg. Ann., 64, p. 1 (1845).

Мы можем, если угодно, предположить, что притяжение между двумя элементами, расположенными на заданном расстоянии друг от друга, пропорционально косинусу угла между ними. В этом случае

Q

=-

1

r

 ,

R

=

1

r^2

cos

,

S

=-

1

r^2

dr

ds'

 ,

S'

=

1

r^2

dr

ds

 .

(44)

Наконец, мы могли бы предположить, что и силы притяжения, и наклонные силы зависят только от углов, образуемых элементами с линией, их соединяющей, и тогда получили бы

Q

=-

2

r

 ,

R

=-3

1

r^2

dr

ds

dr

ds'

 ,

S

=-

2

r^2

dr

ds'

 ,

S'

=

2

r^2

dr

ds

 .

(45)