Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Поскольку 𝑒'+𝑒'₁=0, механическая сила, обусловленная этими членами, равна нулю, но электродвижущая сила, действующая на положительное электричество 𝑒', равна (𝑣𝑒+𝑣₁𝑒₁), а сила, действующая на отрицательное электричество 𝑒'₁, равна и противоположна ей.

858. Предположим теперь, что первый элемент 𝑑𝑠 движется относительно 𝑑𝑠' со скоростью 𝑉 в некотором направлении, и обозначим через

╱╲

╱╲

𝑉𝑑𝑠

 и

𝑉𝑑𝑠'

углы между направлением 𝑉 и направлениями 𝑑𝑠 и 𝑑𝑠' соответственно; тогда квадрат относительной скорости и двух электрических частиц равен

𝑢²

=

𝑣²

+

𝑣'²

+

𝑉

-

2𝑣𝑣'

cos ε

+

╱╲

╱╲

+

2𝑉𝑣

cos

𝑉𝑑𝑠

-

2𝑉𝑣'

cos

𝑉𝑑𝑠'

.

(25)

Член с 𝑣𝑣' - тот же самый, что и в уравнении (3). Член с 𝑣, от которого зависит электродвижущая сила, равен

╱╲

2𝑉𝑣

cos

𝑉𝑑𝑠

.

Мы также имеем в этом случае для значения временной производной от 𝑟

∂𝑟

∂𝑡

=

𝑣

𝑑𝑟

𝑑𝑠

+

𝑣'

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

+

𝑑𝑟

𝑑𝑡

,

(26)

где ∂𝑟/∂𝑡 относится к движению электрических частиц, а 𝑑𝑟/𝑑𝑡 - к движению материального проводника. Если мы образуем квадрат этой величины, то член, содержащий 𝑣𝑣', от которого зависит механическая сила, будет тем же, что и прежде в уравнении (5), а член, содержащий 𝑣, от которого зависит электродвижущая сила, равен

2𝑣

𝑑𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑡

.

Дифференцируя (26) по 𝑡, мы находим

∂²𝑟

∂𝑡²

=

𝑣²

𝑑²𝑟

𝑑𝑠²

+

2𝑣𝑣'

𝑑²𝑟

𝑑𝑠𝑑𝑠'

+

𝑣'²

𝑑²𝑟

𝑑𝑠'²

+

𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝑑𝑟

𝑑𝑠

+

𝑑𝑣'

𝑑𝑡

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

+

+

𝑣

𝑑𝑣

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑠

+

𝑣'

𝑑𝑣'

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

+

2𝑣

𝑑

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑡

+

2𝑣'

𝑑

𝑑𝑠'

𝑑𝑟

𝑑𝑡

+

𝑑²𝑟

𝑑𝑡²

.

(27)

Мы находим, что член, включающий 𝑣𝑣', - тот же самый, что и раньше в уравнении (6). Члены, которые меняют знак с изменением знака 𝑣, есть

𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝑑𝑟

𝑑𝑠

 и

2𝑣

𝑑

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑡

.

859. Если мы теперь вычислим по формуле Гаусса (уравнение (18)) результирующую электрическую силу в направлении второго элемента 𝑑𝑠', возникающую из-за действия первого элемента 𝑑𝑠, мы получим

1

𝑟²

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

𝑖𝑉

×

╱╲

╱╲

╱╲

╱╲

×

(

2cos

𝑉𝑑𝑠

-

2cos

𝑉𝑟

cos

𝑟𝑑𝑠

)

cos

𝑟𝑑𝑠'

.

(28)

Поскольку в этом выражении нет члена, включающего скорость изменения тока 𝑖, и поскольку мы знаем, что изменение первичного тока производит индуцированное действие на вторичный контур, мы не можем принять формулу Гаусса в качестве правильного выражения для действия между электрическими частицами.

860. Если, однако, мы используем формулу Вебера (19), мы получим

1

𝑟²

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

⎛

⎜

⎝

𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑖

𝑑𝑡

+

2𝑖𝑟

𝑑

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑡

-

𝑑𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

,

(29)

или

𝑑

𝑑𝑡

⎛

⎜

⎝

𝑖

𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

+

𝑖

𝑟

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝑟

𝑑𝑠𝑑𝑡

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

-

𝑑²𝑟

𝑑𝑠'𝑑𝑡

𝑑𝑟

𝑑𝑠

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

.

(30)

Если мы проинтегрируем это выражение по 𝑠 и по 𝑠', мы получим для электродвижущей силы во втором контуре

𝑑

𝑑𝑡

𝑖

∬

1

𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

+

𝑖

∬

1

𝑟

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝑟

𝑑𝑠𝑑𝑡

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

-

𝑑²𝑟

𝑑𝑠'𝑑𝑡

𝑑𝑟

𝑑𝑠

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

.

(31)

Далее, если первый контур замкнут,

∫

𝑑²𝑟

𝑑𝑠𝑑𝑠'

𝑑𝑠

=

0.

Следовательно,

∫

1

𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

𝑑𝑠

=

∫

⎛

⎜

⎝

1

𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

+

𝑑²𝑟

𝑑𝑠𝑑𝑠'

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑠

=-

∫

cos ε

𝑟

𝑑𝑠

.

(32)

Но

∬

cos ε

𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

=

𝑀

(33)

согласно п. 423, 524.

Поскольку второй член в уравнении (31) исчезает, когда оба контура замкнуты, мы можем записать для электродвижущей силы во втором контуре

-

𝑑

𝑑𝑡

(𝑖𝑀)

,

(34)

что согласуется с тем, что мы уже установили экспериментально (п. 539).

О формуле Вебера, рассматриваемой как следствие передачи с постоянной скоростью действия от одной электрической частицы к другой

861. В очень интересном письме к В. Веберу ⁸ Гаусс ссылается на электродинамические рассуждения, которыми он занимался очень давно и которые опубликовал бы, если бы смог затем установить то, что он считал краеугольным камнем электродинамики, а именно вывод силы, действующей между движущимися электрическими частицами, рассматривая не мгновенное действие между ними, а считая, что оно распространяется во времени подобно свету. Ему не удалось сделать такой вывод, когда он оставил свои электродинамические исследования, но у него была личная убеждённость, что в первую очередь было бы необходимо составить последовательное представление о том, каким способом происходит распространение.

⁸ March 19, 1845, Werke, Bd. V, 629.

Три выдающихся математика попытались заложить этот краеугольный камень электродинамики.

862. В мемуаре, представленном королевскому обществу Гёттингена в 1858 г., но взятом обратно и опубликованном только после смерти автора в 1867 г. в «Поггендорфовых учёных записках» (Poggendorf’s Annalen), Бернард Риман выводит явления индукции электрических токов из модифицированной формы уравнения Пуассона:

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑧²

+4πρ

=

1

α²

𝑑²𝑉

𝑑𝑡²

,

где 𝑉 есть электростатический потенциал, α - скорость.

Это уравнение имеет ту же самую форму, что и уравнения, выражающие распространение волн и других возмущений в упругих средах. Однако автор, по-видимому, избегает явного упоминания о среде, через которую происходит распространение.

Математическое исследование Римана было проверено Клаузиусом ⁹, который не соглашается с его математическими выкладками и показывает, что гипотеза о распространении потенциала подобно свету не ведёт ни к формуле Вебера, ни к другим известным законам электродинамики.

⁹ Pogg., Bd. CXXXV, p. 612.