Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Следовательно, формулы (11) или (12) допускают такую дуально симметричную запись:

div 𝑇⃡

=

𝐟

_∑

=

ρ

^𝑒

𝐄

+

ρ

^𝑚

𝐇

+

1

𝑐

𝐣

^𝑚

_пол

×

𝐇

-

1

𝑐

𝐣

^𝑒

_пол

×

𝐄

.

Причина отсутствия у Максвелла добавочного члена (13) отчасти раскрывается в п. 641-643, где он выводит выражение для механической силы, дифференцируя тензор напряжений (его магнитную часть), и проводит соответствующие обобщения на переменные во времени процессы. Воспроизведём это вычисление в наших обозначениях. Если в магнитостатике задан тензор

𝑇

𝑚

αβ

=

1

4π

𝐻

_α

𝐻

_β

-

1

4π

δ

_αβ

𝐻²

,

то его дивергенция равна

∂𝑇

𝑚

αβ

  ∂𝑥

β

=

1

4π

∂

𝑥_β

𝐻

_α

𝐻

_β

-

1

8π

∂

𝑥_β

δ

_αβ

𝐇²

=

1

4π

𝐻

_β

∂𝐻_α

𝑥_β

+

1

4π

𝐻

_α

∂𝐻_β

𝑥_β

-

1

8π

∇

_α

𝐇²

=

=

1

4π

(𝐇∇)

𝐻

_α

+

1

4π

𝐻

_α

div 𝐇

-

1

8π

∇

_α

𝐇²

.

(14)

Здесь по дважды встречающимся индексам проводится суммирование

⁔

β,β

≡

3

∑

β=1

.

Приняв во внимание тождество

∇𝐇²

=

2(𝐇∇)𝐇

+

2𝐇

×

rot 𝐇

,

можно соотношению (14) придать окончательный (для случая магнитостатики) вид:

div 𝑇⃡

^𝑚

=-

1

4π

𝐇

×

rot 𝐇

+

1

4π

𝐇 div 𝐇

=

1

𝑐

𝐣

^𝑒

_пр

×

𝐇

.

(15)

Именно эта формула и приводится Максвеллом в п. 642-644. Обобщение состоит в замене 𝐣^𝑒_пр→𝐣^𝑒_пр+𝐣^𝑒_см. Таким образом, уравнение (22) п. 644 подтверждает итоговое уравнение (С).

Однако в переменных полях соотношение (15) следует сложить с двойственным ему соотношением для электрической части тензора напряжений

div 𝑇⃡

^𝑒

=

1

4π

𝐄 div 𝐄

-

1

4π

𝐄× rot 𝐄

=

ρ

^𝑒

𝐄

+

1

4π𝑐

𝐄×

∂𝐇

∂𝑡

(16)

и в результате взамен максвелловской формулы (С) получить выражение (12).

Конечно, с помощью современного оперативного формализма, следуя Хевисайду, восстановление дуальной симметрии в выражении для силы (15) и (16) выглядит почти как очевидное. Но следует напомнить, что в «Трактате» вопрос о симметрии не обсуждался в столь общей постановке и, более того, его выяснение было отчасти затруднено отсутствием выписанного в явном виде уравнения (2). Вполне возможно, что это было причиной ненаписания последнего члена в (12) и (16).

Заметим в конце, что мы ограничились здесь комментированием только основных уравнений в их «итоговом» приведении (А)-(γ). Однако в тексте «Трактата» имеется несколько важных разбросанных замечаний, позволивших впоследствии обобщить эти уравнения на случай движущихся сред при наличии конвективных токов и т.д.

6. Незавершённость

Когда выстраивается новая система взглядов, охватывающая все явления ранее считавшиеся независимыми, разрозненными, как-то несправедливо говорить о незавершённости монографии, где впервые дано последовательное изложение основ теории и где не только установлены её общие уравнения, но и приоткрыты тайны «феномена осенения» - скачка мысли в направлении, показавшемся сначала просто правильным, а потом оказавшемся единственно правильным. И всё же в отличие от «Начал» Ньютона - а максвелловский «Трактат» может быть отнесён по некоторым критериям к следующей за ними вехе в истории познания мира (заметим, кстати, что по-латыни они не «Начала», а «Принципы», т. е. главные положения) - в «Трактате» нет такого широкого панорамного разворота применений найденных уравнений. Максвелл прожил недолгую жизнь (1831- 1879) и до самой кончины, даже в последней болезни продолжал работать над «Трактатом», так что при других, более благоприятных, стечениях обстоятельств мы могли бы унаследовать от него второе издание «Трактата», как принято сейчас писать, полностью переработанное и улучшенное. Он, конечно же, не успел воспользоваться всеми плодами своих уравнений и в продвижении по «дедуктивному спуску» ограничился лишь некоторыми демонстрациями. Но это были впечатляющие примеры.

Прежде всего, уравнениям подчинились все законы электростатических, магнитостатических, стационарно-токовых и квазистационарных полей и стало возможным понять точность соответствующих приближений. Далее, Максвелл извлёк из найденных им уравнений несомненно наиболее представительное решение для произвольно быстрого изменения полей во времени и пространстве - плоские электромагнитные волны в однородной среде, распространяющиеся со скоростью света и способные переносить энергию и импульс. Это был Триумф Великого Объединения - электричества, магнетизма и оптики, предсказанного ещё Фарадеем. И, как мы понимаем теперь, гакие решения можно воспринимать как фундаментальные: их суперпозиция (в линейном случае) даёт любое распределение поля, удовлетворяющее уравнениям Максвелла, так что в известном смысле оба описания - через уравнения или через совокупность фундаментальных решений - эквивалентны. Наконец, Максвелл наметил схему объяснения «воздействия магнетизма на свет», т.е. фарадеевского эффекта вращения плоскости поляризации в замагниченной среде - прообраза будущих параметрических и нелинейных электромагнитных эффектов.