Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Конечно, уравнения (1) - (4) и их прообразы в «Трактате» предполагают дифференцируемость всех встречающихся в них полей. Правда, каждому дифференциальному уравнению может быть поставлено в соответствие интегральное уравнение, где это ограничение на поля снимается. Максвелл отводил такому описанию (как уже отмечалось, обладающему большим сродством с полевыми представлениями Фарадея) важную роль в формировании науки, посвящённой топологии векторных (а затем уже и тензорных любого ранга) полей (в отношении полей электромагнитных в этом деле ещё и сейчас есть изрядные недоработки). Но, несмотря на большую общность, в сводном перечне уравнений в «Трактате» интегральная запись не фигурирует, а должные замечания по этому поводу рассеяны по разным разделам текста. Пока ещё Максвелл искал принципиально правильные связи и только после получения доказательств их правильности должен был возникнуть следующий вопрос - установление наиболее общих правильных связей. А аппарат для решения этого вопроса был уже наготове. Более того, он включил в основную совокупность уравнений (К), которое мы интерпретируем сейчас как граничное условие - условие, определяющее закон перехода полей (в данном случае нормальных компонент 𝐷) через границу раздела сред (в данном случае через заряженную поверхность) и которое, строго говоря, вытекает из интегрального соотношения, обобщающего (4):

∮

𝑆

𝐃

𝑑𝐒

=

4π

∫

𝑉

ρ

𝑑𝑉

,

где замкнутая поверхность 𝑆 охватывает весь объём 𝑉. Таким образом, можно думать, что Максвелл временно отложил обсуждение вопроса о справедливости общих интегральных уравнений для электромагнитных полей и соответственно об общих условиях скачкообразного или непрерывного перехода разных компонент разных полей через резкие границы раздела сред¹².

¹² В переписанной Максвеллом для второго издания Предварительной главе (именно в таком виде она фигурирует в данном переводе) вопросу о свойствах разрывных функций уделено специальное внимание. А эта глава - подготовительная, в какой-то мере способствующая раскрытию замыслов автора. Более того, и в электростатике, и в магнитостатике, и в теории стационарных токов постановка краевых задач для потенциалов (и полей) обсуждается на самом строгом уровне, так что гипотеза, по которой Максвелл не упустил из виду, а отложил написание сводных интегральных уравнений и краевых условий, имеет достаточные основания.

Вторая группа уравнений, представляющая материальные связи, фактически не подвергалась никаким изменениям и выглядит вполне по-современному: (5) совпадает с (α), (L), (G) с точностью до обозначений. При этом Максвелл не ставил целью установление каких-то общих связей, ограничившись простейшими. Чуть позже, в главах XX-XXI, он расширит возможные свойства сред, включив анизотропию (зависимость от направления) и оговорив дисперсию (зависимость от частоты). Важно отметить, что в этом простейшем наборе связей не сделано ни опущений, ни излишеств, а названо ровно столько соотношений, сколько необходимо для замыкания всей системы уравнений. Проблема замыкания и в наше время доставляет кое-какие беспокойства [13], так как для различных способов описания электромагнитных полей требуются разные независимые функции, причём одни из них могут быть вспомогательными («скрытыми от измерений»), а другие физически адекватными измеряемым величинам. Система (1) - (4) содержит 3x5=15 скалярных величин, подлежащих определению; это компоненты векторов 𝐄, 𝐃, 𝐇, 𝐁 и 𝐣^𝑒 (заряд ρ^𝑒 всюду, кроме идеальной электростатики, находится по известному распределению токов 𝐣^𝑒). Попарные подсистемы (2), (3) и (1), (4) налагают каждая только по три (а не четыре!) связи на искомые вектора. В самом деле: из (2) - (3) шесть компонент векторов 𝐄 и 𝐁 выражаются через три компоненты 𝐀 и скаляр φ, но последние благодаря градиентной инвариантности ещё допускают введение одной скалярной функции 𝑓, которой можно распорядиться произвольным образом. Напомним, что градиентной (или калибровочной) инвариантностью называется независимость векторов 𝐄 и 𝐁 относительно преобразования потенциалов

𝐀'

→

𝐀

-

∇𝑓

,

φ'

=

φ

+

1

𝑐

∂𝑓

∂𝑡

.

(9)

В результате система (1) - (4), содержащая 15 скалярных величин, фактически производит только шесть независимых ограничений первого порядка. И следовательно, для её замыкания требуется ещё девять связей; как раз именно столько выдают материальные соотношения (5).

Обращение к потенциалам, заметим, оказалось и здесь - при оценке условий замыкания системы уравнений поля - продуктивной необходимостью, так как без максвелловского представления (8) вряд ли возможно было установить инвариантное преобразование (9). В таком явном окончательно оформленном виде оно не встречается в «Трактате», хотя в процессе выхода на уравнения (8) Максвелл неоднократно обсуждает вопросы о неоднозначности введения скалярного и векторных потенциалов порознь.