Трактат об электричестве и магнетизме

Но соединим между собой все пластины 𝐵 или заземлим каждую из них. Тогда, поскольку потенциал пластины 𝐴₁ положителен, а потенциал пластин 𝐵 равен нулю, пластина 𝐴₁ будет электризована положительно, а 𝐵₁ - отрицательно.

Если потенциалы пластин 𝐴₁, 𝐴₂ и т. д. равны 𝑃₁ 𝑃₂ и т. д., а ёмкость каждой пластины равна 𝐵, и если мы предполагаем, что через левый подводящий провод прошло количество электричества 𝑄₀, через сопротивление 𝑅₁ прошло количество электричества 𝑄₁ и т. д., тогда то количество, которое имеется на пластине 𝐴₁, равно 𝑄₀-𝑄₁ и мы имеем 𝑄₀-𝑄₁=𝐶𝑃₁. Подобным же образом 𝑄₁-𝑄₂=𝐶𝑃₂ и т. д.

Но по закону Ома

𝑃

₁

-

𝑃

₂

=

𝑅

₁

𝑑𝑄₁

𝑑𝑡

,

𝑃

₂

-

𝑃

₃

=

𝑅

₂

𝑑𝑄₂

𝑑𝑡

Мы предположили, что все пластины имеют одно и то же значение 𝐶. Если мы предположим, что значения 𝑅 также одинаковы для каждого из проводов, мы получим систему уравнений вида

𝑄

₀

-

2𝑄

₁

+

𝑄

₂

=

𝑅𝐶

𝑑𝑄₁

𝑑𝑡

,

𝑄

₁

-

2𝑄

₂

+

𝑄

₃

=

𝑅𝐶

𝑑𝑄₂

𝑑𝑡

.

Если требуется определить 𝑛 количеств электричества и если задана полная электродвижущая сила или какое-нибудь другое эквивалентное условие, то дифференциальное уравнение для определения любого из этих количеств электричества будет линейным и 𝑛-го порядка.

С помощью такой установки г-н Варлей (Varley) успешно воспроизвёл электрическое действие кабеля длиною 12 000 миль.

Если сделать так, что вдоль провода, расположенного слева, начнёт действовать электродвижущая сила, то электричество, втекающее в систему, будет главным образом идти на зарядку различных конденсаторов, начиная с 𝐶₁ и до тех пор, пока не пройдёт значительное время, справа будет выходить только очень малая часть тока. Если включить в цепь гальванометры в 𝑅₁, 𝑅₂ и т. д., то они будут испытывать воздействие тока один за другим, причём интервал во времени между равными показаниями будет возрастать по мере нашего продвижения вправо.

332. В случае телеграфного кабеля проводящая жила отделена от внешних проводников цилиндрическим слоем гуттаперчи или другого изолирующего материала. Таким образом, каждая часть кабеля становится конденсатором, внешняя поверхность которого всегда находится при нулевом потенциале. Следовательно, в данной части кабеля количество свободного электричества на поверхности проводящей жилы равно произведению потенциала на ёмкость этой части кабеля, рассматриваемого как конденсатор.

Если внешний и внутренний радиусы изолирующего слоя равны 𝑎₁ и 𝑎₂ и если удельная диэлектрическая способность слоя равна 𝐾, то ёмкость единицы длины кабеля, по п. 126, равна

𝑐

=

𝐾

2 ln

𝑎

₁

𝑎

₂

(1)

Пусть потенциал в любой точке жилы равен 𝑣. Мы будем считать, что потенциал имеет одно и то же значение для каждой части одного и того же сечения.

Пусть 𝑄 будет полное количество электричества, которое прошло через это сечение от начала прохождения тока. Тогда количество, которое в момент времени 𝑡 заключено между сечениями 𝑥 и 𝑥+δ𝑥, равно

𝑄

-

⎛

⎜

⎝

𝑄

+

𝑑𝑄

𝑑𝑥

δ𝑥

⎞

⎟

⎠

 или

-

𝑑𝑄

𝑑𝑥

δ𝑥

,

и, по сказанному выше, эта величина равна 𝑐𝑣δ𝑥.

Следовательно,

𝑐𝑣

=

-

𝑑𝑄

𝑑𝑥

.

(2)

Но электродвижущая сила в любом сечении равна -𝑑𝑣/𝑑𝑥, и по закону Ома

-

𝑑𝑣

𝑑𝑥

=

𝑘

𝑑𝑄

𝑑𝑡

,

(3)

где 𝑘 - сопротивление единицы длины проводника, a 𝑑𝑄/𝑑𝑥 - сила тока. Исключая 𝑄 из уравнений (2) и (3), находим

𝑐𝑘

𝑑𝑣

𝑑𝑡

=

𝑑²𝑣

𝑑𝑥²

.

(4)

Это уравнение в частных производных, которое нужно решить для того, чтобы получить потенциал в любой момент времени в любой точке кабеля. Оно совпадает с тем уравнением, которое Фурье даёт для определения температуры в любой точке слоя, через который течёт тепло в направлении, перпендикулярном к слою. В случае тепла 𝑐 означает ёмкость единицы объёма (эту величину Фурье обозначает через 𝐶𝐷), a 𝑘 означает величину, обратную проводимости.

Если прослойка не является совершенным изолятором и если её сопротивление на единицу длины равно 𝑘₁ при прохождении тока через слой в радиальном направлении, тогда, если удельное сопротивление изолирующего материала равно ρ₁, легко показать, что

𝑘

₁

=

1

2π

ρ

₁

ln

𝑎₁

𝑎₂

.

(5)

Уравнение (2) уже не будет справедливым, поскольку электричество расходуется не только на зарядку жилы до величины, определяемой выражением 𝑐𝑣 но и на утечку, скорость которой определяется выражением 𝑣𝑘₁. Поэтому скорость расхода электричества будет

-

𝑑²𝑄

𝑑𝑥𝑑𝑡

=

𝑐

𝑑𝑣

𝑑𝑡

+

1

𝑘₁

𝑣

,

(6)

откуда, сравнивая с (3), получаем

𝑐𝑘

𝑑𝑣

𝑑𝑡

=

𝑑²𝑣

𝑑𝑥²

-

𝑘

𝑘₁

𝑣

.

(7)

Такой вид, согласно Фурье, имеет уравнение теплопроводности для стержня или кольца ¹

¹Theory de la Chaleur, Art. 105.

333. Если бы мы приняли, что при повышении потенциала тело электризуется во всем своём объёме так, как если бы электричество нагнеталось внутрь тела, мы бы пришли к уравнению точно такого же вида. Примечательно, что сам Ом, будучи введён в заблуждение этой аналогией между электричеством и теплотой, поддержал мнение такого рода и потому из-за этой ошибочной точки зрения использовал уравнение Фурье для того, чтобы описать истинные законы прохождения электричества по длинному проводу, задолго до того, как были усмотрены действительные причины применимости этих уравнений.

Механическое истолкование свойств диэлектриков