Трактат об электричестве и магнетизме

Если отношение 𝑟/𝑘 имеет одно и то же значение для всех слоёв, величина 𝐸 сводится к нулю. Если, однако, это отношение не одинаково, расположим слагаемые в соответствии со значением этого отношения, в порядке уменьшения величины.

Сумма всех коэффициентов, очевидно, равна нулю, так что при 𝑡=0 имеем 𝐸=0. Коэффициенты также расположены в порядке уменьшения величины, и таким же оказывается порядок расположения экспоненциальных членов при положительных значениях 𝑡. Таким образом, при положительных 𝑡 величина 𝐸 также будет положительной, т. е. остаточный разряд всегда имеет тот же знак, что и первичный разряд.

Если время 𝑡 бесконечно велико, все слагаемые исчезают, если только некоторые из слоёв не являются идеальными изоляторами. В этом случае для такого слоя величина 𝑟₁ бесконечна, значение 𝑅 для всей системы также становится бесконечным и значение 𝐸 в конце равно не нулю, а

𝐸

=

𝐸

₀

(1-4π𝑎

₁

𝑘

₁

𝐶)

.

(25)

Таким образом, если некоторые, но не все из слоёв оказываются идеальными изоляторами, остаточный разряд может постоянно удерживаться в системе.

330. Мы теперь определим полный разряд через провод с сопротивлением 𝑅₀, соединённый всё время с крайними слоями системы, предполагая, что эта система сперва была заряжена с помощью приложенной на долгое время электродвижущей силы 𝐸₀.

Для любого момента времени мы имеем

𝐸

=

𝑎

₁

𝑟

₁

𝑝

₁

+

𝑎

₂

𝑟

₂

𝑝

₂

+ и т.д.+

𝑅

₀

𝑢

=

0,

(26)

кроме того, с учётом (3),

𝑢

=

𝑝

₁

+

𝑑ƒ₁

𝑑𝑡

.

(27)

Отсюда

(𝑅+𝑅

₀

)

𝑢

=

𝑎

₁

𝑟

₁

𝑑ƒ₁

𝑑𝑡

+

𝑎

₂

𝑟

₂

𝑑ƒ₂

𝑑𝑡

+ и т.д.

(28)

Интегрируя по 𝑡, для того чтобы найти 𝑄, получаем

(𝑅+𝑅

₀

)

𝑄

=

𝑎

₁

𝑟

₁

(ƒ'

₁

-ƒ

₁

)

+

𝑎

₂

𝑟

₂

(ƒ'

₂

-ƒ

₂

)

+ и т.д.,

(29)

где ƒ₁ - начальное, а ƒ'₁ - конечное значения величины ƒ₁.

В нашем случае ƒ'₁=0, и с учётом (2) и (20) имеем

ƒ

₁

=

𝐸

₀

⎛

⎜

⎝

𝑟₁

4π𝑘₁𝑅

-

𝐶

⎞

⎟

⎠

.

Отсюда

(𝑅+𝑅

₀

)

𝑄

=

-

𝐸

4π𝑅

⎛

⎜

⎝

𝑎₁𝑟₁²

𝑘₁

+

𝑎₂𝑟₂²

𝑘₂

+ и т.д.

⎞

⎟

⎠

+

𝐸

₀

𝐶𝑅

,

(30)

=

-

𝐶𝐸₀

𝑅

∑∑

⎡

⎢

⎣

𝑎

₁

𝑎

₂

𝑘

₁

𝑘

₂

⎛

⎜

⎝

𝑟₁

𝑘₁

-

𝑟₂

𝑘₂

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

,

(31)

где суммирование проводится по всем выражениям этого вида, относящимся к каждой паре слоёв.

Отсюда следует, что величина 𝑄 всегда отрицательна, т. е. имеет, так сказать, противоположное направление по отношению к направлению того тока, который использовался при зарядке системы.

Это исследование показывает, что диэлектрик, составленный из различного рода слоёв, проявляет свойства, известные как электрическое поглощение и остаточный разряд, хотя ни одно из веществ, составляющих этот диэлектрик, взятое само по себе, не проявляет этих свойств. Рассмотрение таких случаев, в которых вещества расположены иначе, чем слоями, привело бы к сходным результатам, хотя соответствующие вычисления были бы более сложными. Поэтому мы можем заключить, что явления электрического поглощения возможны для таких веществ, которые составлены из частей различной природы, даже несмотря на то, что эти части могут быть микроскопически малы.

Отсюда никак не следует, что каждое вещество, обнаруживающее это явление, построено именно таким образом, потому что это может указывать на некоторый новый вид электрической поляризации, возможный для однородного вещества, который в некоторых случаях, вероятно, больше напоминает электрохимическую поляризацию, чем диэлектрическую поляризацию.

Цель этого рассмотрения состоит только в том, чтобы указать на чисто математические особенности так называемого электрического поглощения и показать, насколько фундаментально оно отличается от тепловых явлений, которые на первый взгляд кажутся аналогичными.

331. Если мы возьмём толстую пластину любого вещества и нагреем её с одной стороны так, чтобы создать ток тепла через неё, и если мы затем быстро охладим нагретую сторону до той температуры, при которой находится другая сторона, и предоставим пластину самой себе, то нагревавшаяся сторона пластины опять станет теплее другой в результате прихода тепла изнутри.

Можно осуществить электрическое явление, в точности аналогичное этому, и оно действительно имеет место в телеграфных кабелях, но его математические законы, хотя и полностью согласуются с законами теории тепла, совершенно отличны от законов слоистого конденсатора.

В случае тепла имеет место настоящее поглощение тепла веществом, в результате вещество нагревается. В электричестве невозможно получить полностью аналогичное явление, но мы можем имитировать его следующим образом в форме лекционной демонстрации.

Пусть 𝐴₁, 𝐴₂ и т.д.- внутренние проводящие поверхности последовательности конденсаторов, у которых внешними поверхностями являются 𝐵₀, 𝐵₁, 𝐵₂ и т. д.

Пусть 𝐴₁, 𝐴₂ и т. д. соединены последовательно проводниками с сопротивлениями 𝑅, и пусть ток идёт по этой цепи слева направо [рис. 26].

Рис. 26

Предположим сначала, что каждая из пластин 𝐵₀, 𝐵₁, 𝐵₂ изолирована и свободна от заряда. Тогда полное количество электричества на каждой из пластин 𝐵 будет оставаться равным нулю, и, поскольку электричество на пластинах 𝐴 в каждом случае равно и противоположно электричеству на противолежащей поверхности, пластины 𝐴 не будут электризованы и не будет наблюдаться никакого изменения тока.