Трактат об электричестве и магнетизме

𝑢₁, 𝑢₂ и т. д.- полные токи, которые частично обусловлены прохождением электричества, а частично - изменением смещения;

𝑟₁, 𝑟₂ и т. д.- удельные сопротивления, отнесённые к единице объёма;

𝐾₁, 𝐾₂ и т. д.- удельные индуктивные способности;

𝑘₁, 𝑘₂ и т. д.- величины, обратные удельным индуктивным способностям;

𝐸 - электродвижущая сила вольтовой батареи, помещённой в ту часть цепи, которая ведёт от последнего слоя к первому. Эти слои мы будем считать хорошими проводниками;

𝑄 - полное количество электричества, которое прошло через эту часть цепи к моменту времени;

𝑅₀ - сопротивление батареи вместе с подводящими проводами;

σ₁₂ - поверхностная плотность электричества на поверхности, которая разделяет первый и второй слои.

Тогда в первом слое мы имеем по закону Ома

𝑋

₁

=

𝑟

₁

𝑝

₁

,

(1)

по теории электрического смещения

𝑋

₁

=

4π𝑘

₁

ƒ

₁

,

(2)

по определению полного тока

𝑢

₁

=

𝑝

₁

+

𝑑ƒ₁

𝑑𝑡

(3)

и аналогичные уравнения для других слоёв, в каждом из которых соответствующие величины имеют индекс, принадлежащий данному слою.

Для определения поверхностной плотности на каждом слое мы имеем уравнение вида

σ

₁₂

=

ƒ

₂

-ƒ

₁

,

(4)

а для определения её изменения имеем

𝑑σ₁₂

𝑑𝑡

=

𝑝

₁

-𝑝

₂

.

(5)

Дифференцируя (4) по 𝑡 и приравнивая результат к (5), мы получим

𝑝

₁

+

𝑑ƒ₁

𝑑𝑡

=

𝑝

₂

+

𝑑ƒ₂

𝑑𝑡

=

𝑢

,

(6)

или, учитывая (3),

𝑢

₁

=

𝑢

₂

= и т.д. =

𝑢

.

(7)

Это означает, что полный ток 𝑢 имеет одно и то же значение для всех слоёв и равен току, идущему через провод и батарею.

В силу уравнений (1) и (2) имеем также

𝑢

=

1

𝑟₁

𝑋

₁

+

1

4π𝑘₁

𝑑𝑋₁

𝑑𝑡

,

(8)

откуда, произведя над 𝑢 обратную операцию, получим 𝑋₁:

𝑋

₁

=

⎛

⎜

⎝

1

𝑟₁

+

1

4π𝑘₁

𝑑

𝑑𝑡

⎞-1

⎟

⎠

𝑢

.

(9)

Полная электродвижущая сила 𝐸 равна

𝐸

=

𝑎

₁

𝑋

₁

+

𝑎

₂

𝑋

₂

+ и т.д.,

(10)

или

𝐸

=

⎧

⎨

⎩

𝑎

₁

⎛

⎜

⎝

1

𝑟₁

+

1

4π𝑘₁

𝑑

𝑑𝑡

⎞-1

⎟

⎠

+

𝑎

₂

⎛

⎜

⎝

1

𝑟₁

+

1

4π𝑘₂

𝑑

𝑑𝑡

⎞-1

⎟

⎠

+ и т.д.

⎫

⎬

⎭

𝑢

.

(11)

Уравнение (11) даёт соотношение между внешней электродвижущей силой 𝐸 и внешним током 𝑢.

Если отношение 𝑟 к 𝑘 имеет одно и то же значение для всех слоёв, уравнение сводится к

𝐸

+

𝑟

4π𝑘

𝑑𝐸

𝑑𝑡

=

(𝑎

₁

𝑟

₁

+𝑎

₂

𝑟

₂

+ и т.д.)

𝑢

.

(12)

Это - тот случай, уже рассмотренный в п. 326, в котором, как мы нашли, явление остаточного заряда не может иметь места.

Если имеется 𝑛 веществ с различными значениями отношения 𝑟/𝑘, общее уравнение (11) после избавления от обратных операций будет линейным дифференциальным уравнением n-го порядка по отношению 𝐸 и (𝑛-1)-го порядка по отношению к 𝑢, причём независимой переменной является 𝑡.

Из вида уравнения ясно, что порядок, в котором различные слои следуют друг за другом, безразличен, так что, если имеется несколько слоёв, сделанных из одного и того же вещества, мы можем считать, что они объединены в один и явления при этом не меняются.

329. Теперь предположим, что сначала ƒ₁, ƒ₂ и т. д. все равны нулю и что электродвижущая сила 𝐸₀ внезапно начинает действовать, и найдём её мгновенный эффект.

Интегрируя (8) по времени, мы находим

𝑄

=

∫

𝑢

𝑑𝑡

=

1

𝑟₁

∫

𝑋

₁

𝑑𝑡

+

1

4π𝑘₁

𝑋

₁

+ const,

(13)

Но, поскольку величина 𝑋₁ в этом случае всегда конечна, ∫𝑋₁𝑑𝑡 представляет собой неощутимо малую величину, если 𝑡 есть неощутимо малая величина. Поэтому, так как величина 𝑋₁ первоначально равнялась нулю, мгновенный результат будет

𝑋

₁

=

4π𝑘

₁

𝑄

₁

.

(14)

Отсюда, согласно уравнению (10),

𝐸

₀

=

4π

(𝑘

₁

𝑎

₁

+𝑘

₂

𝑎

₂

+ и т.д.)

𝑄

,

(15)

и если 𝐶 - электрическая ёмкость системы, измеренная таким мгновенным способом, то

𝐶

=

𝑄

𝐸₀

=

1

4π(𝑘₁𝑎₁+𝑘₂𝑎₂+ и т.д.)

.

(16)

Как раз такой результат мы получили бы, если бы пренебрегли проводимостью слоёв.

Предположим далее, что электродвижущая сила 𝐸₀ остаётся неизменной в течение неопределённо долгого времени или до тех пор, пока в системе не установится постоянный ток проводимости, равный 𝑝.

Мы тогда имеем 𝑋₁=𝑟₁𝑝 и т. д., и поэтому, с учётом (10),

𝐸

₀

=

(𝑟

₁

𝑎

₁

+𝑟

₂

𝑎

₂

+ и т.д.)

𝑝

.

(17)

Если 𝑅 - полное сопротивление системы, то

𝑅

=

𝐸₀

𝑝

=

𝑟

₁

𝑎

₁

+𝑟

₂

𝑎

₂

+ и т.д.

(18)

В этом состоянии из (2) имеем

ƒ

₁

=

𝑟₁

4π𝑘₁

𝑝

,

так что

σ

₁₂

=

⎛

⎜

⎝

𝑟₂

4π𝑘₂

-

𝑟₁

4π𝑘₁

⎞

⎟

⎠

𝑝

.

(19)

Если мы теперь быстро соединим крайние слои проводом с малым сопротивлением, значение 𝐸 быстро изменится от начального значения 𝐸₀ до нуля, а через проводник пройдёт некоторое количество электричества 𝑄.

Для того чтобы определить величину 𝑄, заметим, что если 𝑋'₁ есть новое значение величины 𝑋₁ то, с учётом (13),

𝑋'

₁

=

𝑋

₁

+

4π𝑘

₁

𝑄

.

(20)

Отсюда, с учётом (10), полагая 𝐸₀, получаем

0

=

𝑎

₁

𝑋

₁

+ и т.д.+

4π

(𝑎

₁

𝑘

₁

+𝑎

₂

𝑘

₂

+ и т.д.)

𝑄

,

(21)

или

0

=

𝐸

₀

+

1

𝐶

𝑄

.

(22)

Отсюда 𝑄=-𝐶𝐸₀, где 𝐶 - ёмкость, определяемая уравнением (16). Таким образом, мгновенный разряд равен мгновенному заряду.

Предположим теперь, что немедленно после разряда соединение разрывается. Тогда мы будем иметь 𝑢=0, так что, согласно уравнению (8),

𝑋

₁

=

𝑋'

₁

exp

⎛

⎜

⎝

-

4π𝑘₁

𝑟₁

⎞

⎟

⎠

𝑡

,

(23)

где 𝑋'₁ есть начальное значение после разряда.

Отсюда для любого момента 𝑡 получаем, с учётом (23) и (20):

𝑋

₁

=

𝐸

₀

⎧

⎨

⎩

𝑟₁

𝑅

-

4π𝑘

₁

𝐶

⎫

⎬

⎭

exp

⎛

⎜

⎝

-

4π𝑘₁

𝑟₁

⎞

⎟

⎠

𝑡

.

Поэтому значение 𝐸 в любой момент равно

𝐸

₀

⎧

⎨

⎩

⎛

⎜

⎝

𝑎₁𝑟₁

𝑅

-

4π𝑎

₁

𝑘

₁

𝐶

⎞

⎟

⎠

exp

⎛

⎜

⎝

-

4π𝑘₁

𝑟₁

⎞

⎟

⎠

𝑡

+

+

⎛

⎜

⎝

𝑎₂𝑟₂

𝑅

-

4π𝑎

₂

𝑘

₂

𝐶

⎞

⎟

⎠

exp

⎛

⎜

⎝

-

4π𝑘₂

𝑟₂

⎞

⎟

⎠

𝑡

+ и т.д.

⎫

⎬

⎭

,

(24)

и мгновенный заряд по истечении любого времени 𝑡 равен 𝐸𝐶. Эта величина и называется остаточным разрядом.