Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

1. Зенон Элейский. 2. Эпикур. 3. Федерико II Гонзага. 4. Боэций или Анаксимандр или Эмпедокл. 5. Аверроэс. 6. Пифагор. 7. Алкивиад или Александр Македонский. 8. Антисфен или Ксенофонт. 9. Гипатия (Маргерита) или Франческо Мария делла Ровере. 10. Эсхин или Ксенофонт. 11. Парменид. 12. Сократ. 13. Гераклит (Микеланджело). 14. Платон (с «Тимеем», Леонардо да Винчи). 15. Аристотель (с «Этикой»). 16. Диоген Синопский. 17. Плотин. 18. Евклид или Архимед (Браманте). 19. Страбон или Заратустра. 20. Клавдий Птолемей. 21. Протоген. 22. Апеллес (Рафаэль).

Платон резюмирует сущность математического знания в своем седьмом письме:

«Чтобы достигнуть познания всего сущего, необходимо пройти три ступени; четвертая и есть само знание, а за пятую надо принять познаваемый предмет, существующий на самом деле. Первая ступень — имя, вторая — определение, третья — изображение, четвертая — знание».

Затем он подробно описывает каждую ступень по отдельности: определяющее название — definiens (например, «круг»), definiendum (определение), рисунок («его можно нарисовать и стереть») и настоящее мнение, то есть представление о совокупности его характеристик, в случае математики — соответствующие теоремы.

Аристотель же во «Второй аналитике» пишет, что доказательные науки сочетают в себе два аспекта: касающийся значения, то есть терминов, и касающийся существования, то есть предметов. Второе различие пересекается с предыдущим: необходимо отличать первичные термины и предметы от производных терминов и предметов (или свойств). Высказывания, в которых устанавливается значение или факт существования, являются тезисами; в частности, значение устанавливается в определениях, а существования — в гипотезах. Определения «ничего не говорят о существовании определенного предмета», они отвечают на вопрос: «Что это?», а не на «Существует ли?». Гипотезы, в свою очередь, делятся на общие понятия, в которых ум не может сомневаться (настолько они убедительны по своему существу), и на постулаты, не настолько очевидные и предполагающие существование некоторых сущностей. Общие понятия часто называют аксиомами. Современные математики не видят существенной разницы между ними и постулатами. Среди математических объектов есть «первичные», например величина в арифметике или в геометрии, существование которой «дано». Существование же всех остальных объектов необходимо установить. Предложения и теоремы описывают существующие объекты: «Если объекта не существует, высказывание ложно». Вопрос о существовании имеет основополагающее значение. Это не существование идей, предшествующих всему, как у Платона, а существование на основании аксиомы или доказательства, ведущего к ней.

Во «Второй аналитике» Аристотель пишет:

«Предположения — это суждения, при наличии которых получается заключение благодаря тому, что они есть. И геометр не предполагает нечто ложное, как это утверждали некоторые, указывая, что не следует пользоваться ложными положениями, а геометр как раз и допускает ложное, когда про линию, не имеющую в длину фута, говорит, что она имеет эту длину, или про начерченную линию, не являющуюся прямой, говорит, что она прямая. Однако геометр ничего не выводит на основании того, что линия такая, какой он сам ее назвал, но выводит посредством того, что он этим имел в виду. Далее, всякий постулат и всякое предположение берется или как нечто целое, или как часть; определения же — ни как то, ни как другое».