Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

Аристотель установил метод построения научного рассуждения. Он кажется похожим на метод Платона, но это не так: Аристотель не делает различия между истинностью постулатов и истинностью, которая находится за пределами возможного познания. Есть истины, которые просто фиксируют факт существования и общие понятия с более широкой областью применения. Цепь рассуждений, подобно цепочке силлогизмов, идет от само собой разумеющейся истины к истине, доказываемой в теореме: у истины общих понятий и у истины теорем одна и та же природа. Однако Аристотелю требуются определения, в чем его мысль (ученика) опять расходится с представлениями Платона (учителя): необходимые и достаточные условия тесно связаны с терминами, применяемыми в определениях, и делают их правильными.

Философию науки — в частности, математики — Аристотеля можно представить в виде схемы.

СОДЕРЖАНИЕ «НАЧАЛ»

Принято считать, что Евклид написал 13 книг с общим названием «Начала». Они изложены на койне с использованием символов, обозначающих геометрические понятия, в частности точки, величины и числа. Впоследствии к ним были добавлены еще две книги: книга XIV Гипсикла (ок. 190-120 до н.э.) и XV — неизвестного автора, возможно Исидора Милетского. Первое из более тысячи изданий «Начал» было сделано Эрхардом Ратдольтом (1442-1528) в Венеции в 1482 году, почти через 30 лет после публикации Библии Гуттенберга. Эрхард напечатал вариант с комментариями итальянского ученого Джованни Кампано (1220-1296), который, в свою очередь, опирался на перевод, сделанный английским монахом Аделярдом Батским (ок. 1080-1160). В первых четырех книгах не упоминается теория отношений. Они посвящены планиметрии, а не дидактике, и тем не менее сильно различаются.

— Книга I считается основной. В ней содержатся 23 определения, пять постулатов и пять общих понятий. Главная тема книги — теория треугольников. Представлены основы техники танграма для доказательств и построений с линейкой и циркулем. В конце книги — определение прямоугольных треугольников как таких, которые попадают под теорему Пифагора. Показаны дедуктивные возможности метода доведения до абсурда.

— Книга II содержит геометрическую алгебру, точнее элементарные алгебраические преобразования вида (х ± у)^2 = х^2 + у^2 ± 2ху, х^2 - у^2 = (х + у)(х — у) и их производные, но не с числами, а с размерами (отрезками), требующими построения; геометрическое решение линейных уравнений второго уровня из «Данных»; построение золотого сечения и теорема косинусов, обобщение теоремы Пифагора для непрямоугольных треугольников (остроугольных и тупоугольных). В книге есть два определения, а в заключении — предложение 14, недостающее звено для квадратуры многосторонних фигур.

— Книга III: геометрия окружности; И определений.

— Книга IV: построение правильных многоугольников при помощи линейки и циркуля: равностороннего треугольника (а также в первом предложении книги I), квадрата (предложения 6 и 7), пятиугольника (предложение И), шестиугольника (предложение 15) и 15-угольника (предложение 16). Содержит семь определений.

Авторство книг V и VI приписывается Евдоксу Книдскому. Эти тома легли в основу теоремы Фалеса для прямых и площадей многосторонних фигур и для вычисления площадей и объемов.

— Книга V имеет важнейшее значение для понимания древнегреческой геометрии в период Академии. Содержит 18 определений, среди которых особенно выделяются определения соотношения и пропорции. Устанавливает, для каких величин верна теория отношений.

— Книга VI содержит теоремы Фалеса, то есть теоремы о катетах прямоугольного треугольника, из которых выводится теорема Пифагора. Это очень важная книга. Одно из четырех ее определений, вероятно, не принадлежит Евклиду.

Книги VII, VIII и IX относят к пифагорейской школе, хотя есть и другие мнения. В этих книгах содержатся начала арифметики на основе теории частей или рациональных чисел.

— В книге VII определяется, что единица не является числом: согласно этой концепции «все, что есть, есть единица»; даются определения части и простого числа, основы деления, алгоритм и лемма Евклида. В книге 22 определения, последнее из которых — определение совершенного числа. Эти определения используются во всех трех книгах, посвященных арифметике.

— Книга VIII посвящена изучению непрерывных пропорций натуральных чисел — геометрических прогрессий со знаменателем 2.

— Книга IX содержит важную теорему о существовании бесконечного числа простых чисел, необходимую (и, возможно, достаточную) для установления основной теоремы арифметики.

— В книге X встречаются отсылки к Феодору и Теэтету. В ней рассматривается несоизмеримость и приводится классификация иррациональных линий. Это самая длинная, самая техническая и устаревшая из всех книг Евклида. Содержит 16 определений, не все из которых принадлежат Евклиду, и фигуры, используемые для построения Платоновых тел в книге XIII.