Удивительные числа Вселенной. Путешествие за грань воображения

Предположим, я решил сделать через эту сеть какой-то разрез. Например, я мог бы провести его по диагонали через Беллу, Кларки, Эрнеста и Харольда. Эти четыре человека образуют своеобразную подсеть, которую гораздо проще нарисовать на плоском листе бумаги.

Но это не клика – это ничем не примечательное сочетание знакомых и незнакомых людей. Можно ли сделать более интересный разрез? В данном случае ответ положительный: проведя разрез по задней стенке куба через Эрнеста, Фонси, Грэма и Харольда, мы получим клику из четырех незнакомых попарно людей.

Грэму и Ротшильду хотелось узнать, в любом ли кубе всегда существует разрез, дающий такую клику. Если взять пространство трех измерений, то ответ отрицательный: существуют расстановки восьми гостей по вершинам куба, когда при любом разрезе клика не получится. Но, разумеется, математики не привязаны к трехмерному миру, поэтому Грэм и Ротшильд начали думать о гиперкубах в пространствах четырех, пяти, шести или любого другого числа измерений. Сколько измерений нужно взять, чтобы гарантировать клику на каком-нибудь разрезе?[64]

Не стоит и говорить, что Грэм и Ротшильд не смогли дать определенного ответа на этот вопрос, – так бывает с большинством задач в теории Рамсея. Однако они показали, что у задачи есть конечный ответ, и смогли дать для него оценку: это минимальное число измерений должно находиться между числом 6 и каким-то исполинским числовым монстром – неким конечным числом, превосходящим все, что мы когда-либо могли понять. Вопреки распространенному мнению, тот гигантский верхний предел, который они представили, – это не то, что мы сейчас называем числом Грэма[65]. То, что именуется сейчас числом Грэма, появилось шестью годами позже, в 1977 году, когда Рон общался с Мартином Гарднером. Математику требовался простой способ описать этот верхний предел для статьи Гарднера в Scientific American, поэтому он придумал нечто еще более грандиозное. В 1980 году это новое число попало в Книгу рекордов Гиннесса как «самое большое число, когда-либо использовавшееся в математическом доказательстве». Но на самом деле оно никогда в доказательствах не использовалось.

Неважно. Я хочу шокировать вас, заставив задуматься о величине числа Грэма, которое он показал Гарднеру. Не беспокойтесь. Я не собираюсь заставлять вас думать о его десятичном представлении. Во всяком случае, пока. Сейчас мы сосредоточимся на гораздо более безопасном способе представления числа Грэма, использующем стрелочную нотацию Кнута. Она названа в честь американского специалиста по информатике Дональда Кнута, который изобрел ее в 1976 году. Кнут много писал о числах и вычислениях и известен тем, что предложил вознаграждение в размере 2,56 доллара любому, кто обнаружит ошибку в какой-либо из его книг[66]. Его стрелки обеспечат нам безопасный проход через страну больших чисел.

Начнем с умножения: что мы подразумеваем, когда пишем 3 × 4? Возможно, вы хотите сказать «двенадцать», но давайте немного поразмыслим. На самом деле, когда мы пишем 3 × 4, мы имеем в виду, что тройка сложена сама с собой четыре раза, то есть 3 + 3 + 3 + 3. В общем виде это выглядит так:

Иными словами, a сложено с собой b раз. Разложив его таким образом, мы видим, что умножение – это просто затейливый способ описать повторяющееся сложение. А что насчет повторяющегося умножения?

Математики называют это возведением в степень и обычно записывают так:

Теперь a умножено на себя b раз. Например:

3³ = 3 × 3 × 3 = 27;

3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81.

Вероятно, вы называете эти штуки степенями. Впрочем, неважно, как вы их называете, – лишь бы понимали, что это означает. Скажем, Дональд Кнут предложил собственный способ записывать степени – он предпочитает использовать стрелку:

Примеры выше можно записать в виде 3 ↑ 3 = 27 и 3 ↑ 4 = 81.

Здесь мы могли бы остановиться, и большинство нормальных людей так и сделает, но мы – не нормальные. Давайте продолжим. Что будет, если вы займетесь повторяющимся возведением в степень? Такая операция называется тетрацией. Кнут записывает ее в виде двойной стрелки:

Здесь к числу a мы b раз применяем операцию стрелки. Иначе тетрацию можно назвать степенной башней, поскольку вы можете изобразить ее в виде

где башня из букв a имеет b этажей.

Давайте найдем 3 ↑ ↑ 3 и 3 ↑ ↑ 4. Это степенные башни из троек: в одной три этажа, а в другой четыре. Иными словами:

3 ↑ ↑ 3 = 3 ↑ (3 ↑ 3) =  = 3²⁷ = 7 625 597 484 987;

3 ↑ ↑ 4 = 3 ↑ (3 ↑ (3 ↑ 3))=  3^{7 625 597 484 987}.

Двойная стрелка позволяет нам одним прыжком переместиться от числа 3 до 7,6 трлн. Неплохое достижение. Однако нотация Кнута позволяет гораздо больше. Достаточно использовать тройную стрелку, считая ее повторением операции двойной стрелки: