Удивительные числа Вселенной. Путешествие за грань воображения

Логика тут та же самая, но теперь к числу a мы b раз применяем операцию двойной стрелки. Тройная стрелка – это очень мощная штука. Попробуем найти 3 ↑ ↑ ↑ 3. Поскольку для тройной стрелки нужно несколько раз повторять операцию двойной стрелки, то мы получаем

3 ↑ ↑↑ 3 = 3 ↑ ↑ (3 ↑ ↑ 3) = 3 ↑ ↑ 7 625 597 484 987.

Да уж. Мы пришли к числу 3 ↑ ↑ 7,6 трлн. Это башня

в которой 7,6 трлн этажей! Представьте, что мы выписываем ее полностью: если каждая тройка будет иметь высоту два сантиметра, башня растянется до Солнца. Поэтому данное число иногда называют солнечной башней. Честно говоря, я боюсь его вычислять.

Но мы не собираемся на этом останавливаться.

Как насчет 3 ↑ ↑ ↑ ↑3? От этого реально сойти с ума. Если вы начнете вычислять, вы получите

Мы боялись вычислить даже солнечную башню, а теперь приходится иметь дело с солнечной башней двойных стрелок! Честно говоря, это уже просто неприлично. Гугол и гуголплекс давно за спиной. У нас нет ничего, что имело бы такой размер. Нужно признать, что мы вышли за рамки физической реальности. Но мы все еще и близко не подобрались к числу Грэма.

Выбора нет – надо продолжать.

В этом месте Грэм вводит понятие лестницы. Каждая ступенька – это число, которое намного больше всего предыдущего. Нижняя ступенька лестницы Грэма обычно называется g₁, и это то самое монструозное число, с которым мы только что встретились:

g₁ = 3 ↑ ↑↑ ↑ 3.

Шагаем на следующую ступеньку и внезапно обнаруживаем, что мы поднялись на

Посмотрите, сколько стрелок: их g₁! Четырех уже было достаточно, чтобы породить чудовищное число, а теперь чудовищным стало количество стрелок. Монстр из монстров. Но мы все еще далеко от числа Грэма.

Сделаем еще один шаг по лестнице:

Нет смысла даже пытаться описать, насколько велико это число. Слова слишком сильно отстали от математики. Но надеюсь, вы видите закономерность: с каждой новой ступенькой на лестнице Грэма количество стрелок неимоверно увеличивается. Воздействие на само число вообще непостижимо. Итак, продолжаем подниматься: от g₃ к g₄, от g₄ к g₅ и т. д. К тому времени, когда мы достигнем шестьдесят четвертой ступеньки, мы окажемся далеко, далеко, далеко, далеко в стране больших чисел и не сможем понять, где мы. Зато мы наконец пришли к цели: g₆₄ – это и есть число Грэма.

Невелика точность, если ответ на математический вопрос лежит где-то между числом 6 и неимоверно большим числом g₆₄? Рон Грэм соглашался с этим, но для него это подчеркивало разрыв между тем, что вы считаете истиной, и тем, что вы можете доказать. Мы знаем, что существует точный ответ на первоначальный вопрос Грэма и Ротшильда, и он скрывается где-то на этом невероятно огромном интервале, но найти его точно? Что ж, удачи. На самом деле этот интервал значительно сократился с тех пор, как Грэм и Ротшильд написали свою статью. Сейчас мы знаем, что ответ находится где-то между 13 и 2 ↑ ↑ ↑ 5. Это улучшение, но его явно не хватит, чтобы удовлетворить требования разгневанной инопланетной расы, проверяющей человечество с помощью проблем из теории Рамсея.

В истории математики число Грэма – настоящий левиафан, но я боюсь, что его великолепие теряется из-за абстракции. Чтобы лучше понять его, мы обратимся к физике и выясним, почему это число настолько велико, что способно убить.

Слишком много информации

Что делает число Грэма таким опасным? Почему ваша голова сколлапсирует, если вы будете размышлять о его десятичном представлении? Оказывается, в таком изображении числа Грэма есть энтропия – много энтропии, – а каждый раз, когда вы пытаетесь втиснуть слишком много в слишком маленькое пространство, неизбежно образуются черные дыры. Может показаться странным, что число способно нести энтропию так же, как яйцо или трицератопс, однако энтропия тесно связана с информацией, а последняя в числе Грэма, безусловно, содержится. Если бы я назвал вам его последнюю цифру, у вас появилось бы новое знание. Если бы я назвал вам его полное десятичное представление, вашей голове пришлось бы втискивать гораздо больше информации. Поглощение такого большого количества энтропии в замкнутом пространстве приведет к единственному возможному результату: смерти от превращения головы в черную дыру.

Чтобы понять связь между черными дырами, энтропией и десятичным представлением числа Грэма, нам нужно изучить смысл информации. Мне известна последняя цифра числа Грэма, и я предлагаю вам узнать ее. Вы можете задавать мне какие угодно вопросы, но я буду отвечать только «да» и «нет». Предположим, вы придерживаетесь следующей стратегии.

Это цифра от 0 до 4? Нет.

Это 5, 6 или 7? Да.

Это 5 или 6? Нет.

Вы понимаете, что ответ – семерка.