Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Любой курс математики содержит хотя бы одну заведомо трудную тему. В арифметике это деление в столбик. В алгебре — текстовые задачи. А в геометрии — доказательства.

Большинство учеников, изучающих геометрию, до этого никогда не сталкивались с доказательствами. И такая встреча может вызвать шок, поэтому здесь был бы уместен ярлычок со следующей надписью: «Доказательства способны вызвать головокружение или чрезмерную сонливость. Побочные эффекты от длительного воздействия доказательств могут включать в себя ночную потливость, приступы паники и в редких случаях эйфорию. Прежде чем приступать к их изучению, проконсультируйтесь с врачом».

Умение приводить доказательства уже давно считается одним из ключевых для общего образования. И, по мнению некоторых, более существенным, чем сама геометрия. Хотя никто толком не понимает, как научиться их формулировать. Согласно этой точке зрения, геометрия хороша для развития умственных способностей, поскольку обучает нас думать четко и логично. Сюда не относится изучение треугольника, круга и параллельных линий как таковых. Важно само применение аксиоматического метода, представляющего собой процесс пошагового создания строгих аргументов до получения подтверждения искомого вывода.

Евклид47 установил этот дедуктивный подход в своих «Началах» (в настоящее время наиболее часто перепечатываемый учебник всех времен) около 2300 лет назад. С тех пор евклидова геометрия стала моделью логического мышления во всех сферах жизни — от науки и философии до права и политики. Например, Исаак Ньютон применил метод Евклида в структуре своего шедевра «Математические начала натуральной философии». Используя геометрические доказательства, он вывел законы Галилея и Кеплера о движении летящих предметов и планет на основе их собственных глубинных законов движения и гравитации. «Этика» Спинозы[16] следует той же схеме. Полное название книги «Этика, доказанная в геометрическом порядке» (Ethica Ordine Geometrico Demonstrata). Вы можете услышать отголоски Евклида даже в Декларации независимости. Когда Томас Джефферсон48 писал: «Мы считаем эти истины самоочевидными», он имитировал стиль «Начал» Евклида. Древнегреческий математик начал с определений, постулатов и самоочевидных истин геометрии, аксиом, и из них воздвиг здание утверждений и доказательств, где истины связаны между собой посредством неопровержимой логики. Джефферсон построил Декларацию аналогичным образом: его радикальные выводы о том, что колонии имеют право на самоуправление, казались неотвратимыми, как факт геометрии.

Даже если этот документ с некоторой натяжкой можно воспринимать как часть интеллектуального наследия, имейте все же в виду, что Джефферсон читал Евклида. Через несколько лет после окончания второго президентского срока он отошел от общественной жизни и писал об этом своему старому другу Джону Адамсу 12 января 1812 года: «Я отказался от газет в обмен на Тацита и Фукидида, Ньютона и Евклида, и считаю себя гораздо счастливее».

Однако всем поклонникам рациональности Евклида не хватает понимания интуитивных аспектов геометрии. Без вдохновения не было бы никаких доказательств или теорем, которые следует доказать в первую очередь. Как и при сочинении музыки или стихов, в геометрии требуется получить что-то из ничего. Как поэту найти нужные слова или композитору — западающую в память мелодию? Это тайна музыки; своя тайна присуща и математике.

В качестве иллюстрации рассмотрим задачу построения равностороннего треугольника. Правила игры заключаются в том, что вам дают одну сторону треугольника (отрезок), как показано на рисунке:

Ваша задача — найти способ использовать этот отрезок для построения двух других сторон и доказать, что у них такая же длина, как и у первой. Причем в вашем распоряжении только поверочная линейка и циркуль. Линейка позволяет начертить прямую линию любой длины или соединить прямой линией две любые точки. Циркуль помогает нарисовать окружность любого радиуса с центром в любой точке.

Однако имейте в виду, что это не обычная линейка: на ней нет делений и ее нельзя использовать для измерения длины. (Другими словами, она не подходит для копирования или измерения исходного отрезка.) Циркулем нельзя измерять углы, а можно только строить окружности.

Готовы? Поехали!

Вы в ступоре. С чего начать?

Логика здесь не поможет. Те, кому приходится часто принимать решения, знают, что в такой ситуации лучше всего расслабиться и попробовать разгадать головоломку в надежде, что что-нибудь придет в голову. Например, с помощью поверочной линейки попробовать через концы отрезка провести наклонные линии.

Не повезло. Хотя линии образуют треугольник, нет никакой гарантии, что он равносторонний.