Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Везде, где появляются логарифмы, — от шкалы Рихтера для определения магнитуды землетрясений до коэффициента кислотности рН, — они становятся замечательными «уплотнителями». Логарифмы идеально подходят для величин, изменяющихся в широком диапазоне, и сжимают их, чтобы они стали более управляемыми. Например, 100 и 100 000 000 отличаются в миллион раз — эту пропасть большинство из нас даже не может вообразить. Но их логарифмы разнятся всего в четыре раза (равны 2 и 8, так как 100 = 10² и 100 000 000 = 10⁸). Когда мы разговариваем о заработной плате, то используем грубую версию логарифмической краткости, определяя заработную плату в интервале между 100 000 и 999 999 долларов шестью цифрами. Эта «шестерка» является приблизительным логарифмом этих сумм заработной платы, которые на самом деле находятся в диапазоне от 5 до 6.

Поскольку только инструменты математика могут сделать так впечатляюще много, как описанные функции, возможно, именно поэтому я до сих пор не собрал купленные книжные шкафы.

12. Танец квадратов

Спорим, я смогу угадать ваш любимый раздел математики в средней школе?

Это геометрия. Правильно?

Столько из встреченных мной за эти годы людей говорили мне о своей любви к этому предмету. Вместе с тем, скольких образно мыслящих людей, у которых лучше развито правое полушарие, используемое при занятиях геометрией, отпугнула ее холодная логика? Наверное, многих. Но некоторые признавались, что любят геометрию именно за ее логичность. Математическое доказательство каждой новой теоремы представляет собой цепочку логических следствий из уже ранее доказанных теорем. Таким образом, при доказательстве теоремы оно сводится к ранее доказанному, что для многих становится источником вдохновения.

Но лучшая моя догадка (и откровенное признание, почему лично я люблю геометрию) заключается в том, что люди наслаждаются этой наукой, потому что она замужем за логикой и интуицией. Она хорошо себя чувствует, когда мы используем оба полушария мозга.

Чтобы проиллюстрировать, какое удовольствие можно получить от геометрии, снова обратимся к теореме Пифагора, которую вы, наверное, помните в виде равенства a² +

b² = c². Здесь я преследую две цели: убедиться, что она верна, и оценить ее значение. Помимо этого, рассмотрев два ее различных доказательства, мы сможем воочию убедиться, что они могут быть не только правильными, но и элегантными.

Теорема Пифагора относится к прямоугольному треугольнику, то есть к треугольнику, один из углов которого равен 90°. Такие треугольники интересны тем, что их можно получить, разрезав прямоугольник по диагонали на две равные части:

А так как в условиях различных задач прямоугольники не редкость, то, соответственно, и прямоугольные треугольники тоже. Например, они встречаются в геодезии.

Измеряя поле прямоугольной формы, вы, возможно, захотите узнать расстояние по диагонали от одного угла до противоположного. (Кстати, в начале своего существования геометрия применялась именно при измерении площади земельного участка, то есть в измерении земли: geo — земля, а metr — измерение.)

Теорема Пифагора43 указывает, какова длина диагонали по сравнению со сторонами прямоугольника. Если одна сторона имеет длину a, а другая — b

, то теорема утверждает, что длиной диагонали будет с, где

a² + b² = c².

Почему-то самая длинная сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой44, хотя я никогда не встречал никого, кто знает историю происхождения этого термина. (Может, какой-нибудь древнеримский или греческий ученый?)

Посмотрим, как работает теорема Пифагора. Для этого в выражение a

² + b² = c² подставим числа. Пусть a = 3 ярдам и b = 4 ярдам. Тогда, чтобы определить неизвестную длину стороны c, мы надеваем черные капюшоны и читаем нараспев: с² — это сумма 3²

и 4², что равно 9 и 16. (Имейте в виду, что все величины теперь измеряются в квадратных ярдах, так как мы возводим в квадрат не только сами числа, но и ярды.) Так как 9 + 16 = 25, то с² = 25 квадратным ярдам. Далее извлекаем квадратные корни из обеих частей уравнения и получаем длину гипотенузы с = 5 ярдов.

Такой подход к теореме Пифагора создает впечатление, что в ней говорится о длине сторон треугольника. Хотя традиционно считается, что в ней идет речь о площадях. Это становится очевидным, если посмотреть, как Пифагор ее сформулировал.

Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.

Обратите внимание на слова «построенный на». Мы не говорим о квадрате гипотенузы — это новомодная алгебраическая концепция об умножении длины гипотенузы саму на себя. Нет, мы здесь имеем в виду некий квадрат, «сидящий» на гипотенузе примерно вот так:

Давайте назовем его большим квадратом, чтобы отличить от малого и среднего, которые можно построить на двух других сторонах:

Теперь теорема утверждает, что большой квадрат имеет такую же площадь, как малый и средний, вместе взятые.